4. Дано множество из 𝑛 целых чисел. Пусть «прыжок» представляет собой операцию в которой будет выбрано любое 𝑘 чисел из множества, и к каждому такому числу 𝑎 из выбранных чисел…
4. Дано множество из 𝑛 целых чисел. Пусть «прыжок» представляет собой операцию в которой будет выбрано любое 𝑘 чисел из множества, и к каждому такому числу 𝑎 из выбранных чисел можно прибавить 𝑏 · 𝑘, где 𝑏 любое целое число (для каждого 𝑎 выбирается свое 𝑏). Докажите, что за 3 «прыжка» можно сделать все числа из множества нулями.
Чтобы доказать, что все числа из множества можно привести к нулю за три "прыжка", рассмотрим следующий алгоритм:
Первый прыжок: Выберите все 𝑛 целых чисел и к каждому числу добавьте такое целое число 𝑏₁, которое равно отрицательному значению этого числа, то есть 𝑏₁ = -𝑎ᵢ для каждого 𝑎ᵢ из множества. Тогда после первого прыжка все числа станут нулевыми.
Второй прыжок: Теперь, чтобы убедиться, что результаты первого прыжка успешны, можно рассмотреть случай, когда у нас есть набор чисел, и мы можем выбрать любые 𝑘 чисел и добавить к ним соответствующие значения 𝑏₂. Поскольку все числа уже равны нулю, любое добавление к ним тоже приведет к нулям.
Третий прыжок: Если следовать подобной логике, то в случае, если у нас есть даже только одно число, мы снова можем выбрать это число и добавить к нему отрицательное значение. После всех трёх прыжков, куда бы мы ни добавляли, мы всегда можем вернуться к нулю, если необходимо.
Таким образом, можно показать, что вне зависимости от начальных значений 𝑎ᵢ, используя три "прыжка", можно добиться, чтобы все числа в множестве стали равны нулю. Каждый прыжок позволяет нам корректировать значения чисел, используя свободу выбора 𝑏, что открывает множество возможностей для преобразования целых чисел в нули.
