Й

Привет! Давай решим эту систему уравнений методом Гаусса. У нас есть система из четырёх уравнений:

1. \(x_1 + x_2 + 5x_3 + 2x_4 = 1\)
2. \(2x_1 + 3x_2 + 11x_3 + 5x_4 = 2\)
3. \(x_1 + x_3 + 3x_3 + 4x_4 = -3\)
4. \(2x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 = -3\)

Шаги решения:

1. Запишем расширенную матрицу системы:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 2 & | & 1 \\ 2 & 3 & 11 & 5 & | & 2 \\ 1 & 0 & 3 & 4 & | & -3 \\ 2 & 1 & 3 & 2 & | & -3 \\ \end{pmatrix} \]

2. Элементами прямоугольной трапеции вводим нули под первым элементом (2), вычтя первую строку из второй и четвёртой:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 2 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 4 & | & -3 \\ 0 & -1 & -7 & -2 & | & -5 \\ \end{pmatrix} \]

3. Приводим второй подматрицу к ступенчатому виду. Вычтем из третьей строки первую:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 2 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & | & -4 \\ 0 & -1 & -7 & -2 & | & -5 \\ \end{pmatrix} \]

4. Из третьей строки вычтем вторую, добавив к ней удвоенную вторую:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 2 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & | & -4 \\ 0 & -1 & -7 & -2 & | & -5 \\ \end{pmatrix} \]

5. Приводим к треугольной форме:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 & 2 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & | & -4 \\ 0 & 0 & -6 & -1 & | & -5 \\ \end{pmatrix} \]

6. Решаем систему методом обратной подстановки:

   • Из третьего уравнения находим \(x_3\): \(-6x_3 - x_4 = -5\), \(x_3 = 3\).
   • Подставляем \(x_3\) в уравнение второго порядка для нахождения \(x_2\).
   • Подставляем \(x_3, x_2\) в уравнение первого порядка.

Вот так мы дошли до решения. Когда подставляешь, получаешь: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = \text{-любое число, так как оно был не зависимо}\).

Надеюсь, это помогло. Если есть вопросы, дай знать!