x²-y=7 x²y=18
Решим систему уравнений:
- \(x^2 - y = 7\)
- \(x^2 y = 18\)
Сначала выразим \(y\) из первого уравнения:
\[ y = x^2 - 7 \]
Теперь подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение:
\[ x^2 (x^2 - 7) = 18 \]
Раскроем скобки:
\[ x^4 - 7x^2 - 18 = 0 \]
Теперь, чтобы решить это уравнение, сделаем замену. Пусть \(z = x^2\). Тогда уравнение превращается в:
\[ z^2 - 7z - 18 = 0 \]
Применим формулу для решения квадратного уравнения \(az^2 + bz + c = 0\):
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -18\). Подставим значения:
\[ z = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} \] \[ z = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} \] \[ z = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2} \] \[ z = \frac{7 \pm 11}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения \(z\):
- \(z = \frac{18}{2} = 9\)
- \(z = \frac{-4}{2} = -2\) (Это значение не будет решением, так как \(z\) должно быть неотрицательным, так как это \(x^2\))
Таким образом, \(z = 9\) и значит:
\[ x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ или } x = -3 \]
Подставим обратно для нахождения \(y\):
Для \(x = 3\): \[ y = 3^2 - 7 = 9 - 7 = 2 \]
Для \(x = -3\): \[ y = (-3)^2 - 7 = 9 - 7 = 2 \]
Таким образом, получаем две пары решений:
\((3, 2)\) и \((-3, 2)\).
В итоге, система уравнений имеет решения \( (3, 2) \) и \( (-3, 2) \).
