x-2/x+4>=2

Чтобы решить неравенство \(\frac{x - 2}{x + 4} \geq 2\), следует выполнить следующие шаги:

1. Перепишем неравенство: \[ \frac{x - 2}{x + 4} - 2 \geq 0 \]

2. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x - 2 - 2(x + 4)}{x + 4} \geq 0 \] Упростим числитель: \[ x - 2 - 2x - 8 = -x - 10 \] Таким образом, неравенство становится: \[ \frac{-x - 10}{x + 4} \geq 0 \]

3. Умножим обе стороны на -1 (не забываем изменить знак неравенства): \[ \frac{x + 10}{x + 4} \leq 0 \]

4. Находим нули числителя и знаменателя:

   • Ноль числителя: \(x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10\)
   • Ноль знаменателя: \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)

5. Определяем интервалы: Нули делят числовую ось на интервалы: \((-∞, -10)\), \((-10, -4)\) и \((-4, +∞)\).

6. Проверяем знак на каждом интервале:

   • Для \(x < -10\) (например, \(x = -11\)): \(\frac{-11 + 10}{-11 + 4} = \frac{-1}{-7} > 0\)
   • Для \(-10 < x < -4\) (например, \(x = -5\)): \(\frac{-5 + 10}{-5 + 4} = \frac{5}{-1} < 0\)
   • Для \(x > -4\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{0 + 10}{0 + 4} = \frac{10}{4} > 0\)

7. Составляем итоговое решение: Мы ищем, где \(\frac{x + 10}{x + 4} \leq 0\). Это выполняется на интервале \((-10, -4)\).

8. Неравенство должно включать нули: \(x = -10\) является решением, так как подставив его, мы получим \(0\). Однако \(x = -4\) нельзя включать, так как в этом случае знаменатель становится равным нулю.

Таким образом, итоговое решение неравенства: \[ x \in [-10, -4) \]

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!