Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число, по следующим правилам. 1. Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа. 2.Полученные два числа записываются друг за другом в порядке возрастания ( без разделителей) Пример. исходное число: 843 Суммы: 8+4=12; 4+3=7. Результат:712 Сколько существует различных чисел, в результате обработки которых автомат выдаст число 1416?

Чтобы определить, сколько различных трёхзначных чисел могут привести к результату 1416 при выполнении указанных операций, начнем с разбора самой задачи.

1. Результат 1416 можно разбить на две части: 14 и 16. Эти числа соответствуют суммам первой и второй, а также второй и третьей цифр из исходного трёхзначного числа.

Пусть исходное число представлено как \( abc \), где \( a \) — первая цифра, \( b \) — вторая, и \( c \) — третья.

Согласно правилам:

• Первая сумма: \( S_1 = a + b \)
• Вторая сумма: \( S_2 = b + c \)

Итак, мы имеем:

• \( S_1 = a + b = 14 \)
• \( S_2 = b + c = 16 \)

Теперь необходимо решить систему уравнений:

Из первого уравнения: \[ b = 14 - a \]

Подставим \( b \) во второе уравнение: \[ 14 - a + c = 16 \] Отсюда: \[ c = 16 - (14 - a) \] \[ c = 2 + a \]

Теперь у нас есть выражения для \( b \) и \( c \) в зависимости от \( a \):

• \( b = 14 - a \)
• \( c = 2 + a \)

Так как \( a \), \( b \) и \( c \) — это цифры трёхзначного числа, они должны находиться в диапазоне от 0 до 9 и \( a \) должен быть больше 0, потому что это первая цифра.

Теперь определим допустимые значения для \( a \):

1. \( a \) должно быть таким, чтобы \( 14 - a \geq 0 \), что означает \( a \leq 14 \). Поскольку \( a \) — это цифра, максимальное значение 9. Так, \( a \) может принимать значения от 1 до 9.
2. \( c = 2 + a \) должно быть не больше 9: \[ 2 + a \leq 9 \] \[ a \leq 7 \]

Таким образом, \( a \) может принимать значения от 1 до 7.

Теперь подставим каждое значение \( a \) и найдем соответствующие \( b \) и \( c \):

• \( a = 1 \): \( b = 14 - 1 = 13 \) (не подходит)
• \( a = 2 \): \( b = 14 - 2 = 12 \) (не подходит)
• \( a = 3 \): \( b = 14 - 3 = 11 \) (не подходит)
• \( a = 4 \): \( b = 14 - 4 = 10 \) (не подходит)
• \( a = 5 \): \( b = 14 - 5 = 9 \), \( c = 7 \) (подходит: 597)
• \( a = 6 \): \( b = 14 - 6 = 8 \), \( c = 8 \) (подходит: 688)
• \( a = 7 \): \( b = 14 - 7 = 7 \), \( c = 9 \) (подходит: 779)

Итак, допустимые трёхзначные числа: 597, 688, 779.

Поэтому существует 3 различных числа, в результате обработки которых автомат выдаст число 1416.