5-x-4x²/7x-21≤0

Чтобы решить неравенство \(5 - x - \frac{4x^2}{7x - 21} \leq 0\), начнем с упрощения выражения.

1. Приведем к общему знаменателю. Заметим, что \(7x - 21\) можно факторизовать: \[ 7x - 21 = 7(x - 3). \] Теперь можно записать неравенство в более удобной форме. Начнем с переноса всех членов в одну часть: \[ 5 - x \leq \frac{4x^2}{7x - 21}. \]

2. Умножим обе стороны на \(7(x - 3)\) (обязательно следим за знаком, поэтому сначала определим, что \(x \neq 3\) и учитываем знаки): \[ (5 - x)(7(x - 3)) \leq 4x^2. \]

3. Раскроем скобки: \[ 7(5 - x)(x - 3) \leq 4x^2. \] Упростим левую часть: \[ 7(5x - 15 - x^2 + 3x) \leq 4x^2 \quad \Rightarrow \quad 7(8x - x^2 - 15) \leq 4x^2 \quad \Rightarrow \quad 56x - 7x^2 - 105 \leq 4x^2. \]

4. Переносим все в одну сторону: \[ -7x^2 - 4x^2 + 56x - 105 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad -11x^2 + 56x - 105 \leq 0. \] Умножим на -1, не забывая поменять знак неравенства: \[ 11x^2 - 56x + 105 \geq 0. \]

5. Теперь находим корни квадратного уравнения \(11x^2 - 56x + 105 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 105 = 3136 - 4620 = -1484. \] Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола либо вообще не пересекает ось x, либо находится выше нуля.

6. Проверяем функцию (так как коэффициент при \(x^2\) положителен, ветви параболы направлены вверх). Чтобы подтвердить, можно взять любое значение, например \(x = 0\): \[ 11(0^2) - 56(0) + 105 = 105 \geq 0. \] Это значит, что выражение \(11x^2 - 56x + 105\) всегда больше нуля.

7. В итоге, неравенство \(5 - x - \frac{4x^2}{7x - 21} \leq 0\) удовлетворяется при \(x \neq 3\).

Таким образом, решением нашего неравенства будет: для всех \(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq 3\).