Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = -8 является натуральным числом.

Чтобы корень уравнения \( ax = -8 \) был натуральным числом, необходимо, чтобы:

1. \( a \) не равно 0 (иначе уравнение не имеет смысла).
2. \( x \), решение уравнения, должно быть натуральным числом.

Мы можем выразить \( x \) через \( a \): \[ x = \frac{-8}{a} \]

Для того чтобы \( x \) было натуральным числом, выражение \( \frac{-8}{a} \) должно быть отрицательным, что означает, что \( a \) должно быть отрицательным. Также \( -8 \) должно быть делимо на \( a \).

Пусть \( x \) – натуральное число, тогда: \[ \frac{-8}{a} = n, \quad (n \in \mathbb{N}) \] где \( n \) – некоторый натуральный номер.

Отсюда: \[ a = \frac{-8}{n} \]

Принимая во внимание, что \( n \) – натуральное число, мы можем подставлять натуральные значения для \( n \) и находить соответствующие отрицательные целые значения для \( a \).

Рассмотрим натуральные числа \( n \):

• Если \( n = 1 \), то \( a = -8 \).
• Если \( n = 2 \), то \( a = -4 \).
• Если \( n = 3 \), то \( a = -\frac{8}{3} \) (не целое).
• Если \( n = 4 \), то \( a = -2 \).
• Если \( n = 5 \), то \( a = -\frac{8}{5} \) (не целое).
• Если \( n = 6 \), то \( a = -\frac{4}{3} \) (не целое).
• Если \( n = 7 \), то \( a = -\frac{8}{7} \) (не целое).
• Если \( n = 8 \), то \( a = -1 \).
• Если \( n = 9 \) и больше, \( a \) становится всё менее целым.

Таким образом, целыми значениями \( a \), при которых \( x \) является натуральным, будут: \[ \{ -8, -4, -2, -1 \} \]

Ответ: \( -8, -4, -2, -1 \).