Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = -8 является натуральным числом.

Для того чтобы решить уравнение \( ax = -8 \) и определить, при каких целых значениях \( a \) корень этого уравнения является натуральным числом, начнем с его преобразования.

Уравнение можно записать как:

\[ x = \frac{-8}{a} \]

Мы хотим, чтобы \( x \) был натуральным числом. Для этого нужно, чтобы \( \frac{-8}{a} \) было натуральным числом. Это возможно при следующих условиях:

1. Значение \( a \) должно быть отрицательным, чтобы дробь \( \frac{-8}{a} \) была положительной (так как натуральные числа — это положительные целые числа).
2. \( a \) должно делить -8, то есть \( -8 \) должно быть кратно \( a \).

Теперь найдем все отрицательные делители числа -8. Делителями -8 являются следующие числа:

• 1
• 2
• 4
• 8
• -1
• -2
• -4
• -8

Из этих чисел отрицательные следующие:

• -1
• -2
• -4
• -8

Теперь проверим, какой корень (натуральное число) получится при подстановке этих значений \( a \):

1. Если \( a = -1 \): \[ x = \frac{-8}{-1} = 8 \quad (\text{натуральное число}) \]

2. Если \( a = -2 \): \[ x = \frac{-8}{-2} = 4 \quad (\text{натуральное число}) \]

3. Если \( a = -4 \): \[ x = \frac{-8}{-4} = 2 \quad (\text{натуральное число}) \]

4. Если \( a = -8 \): \[ x = \frac{-8}{-8} = 1 \quad (\text{натуральное число}) \]

Таким образом, все отрицательные делители -8, а именно \( -1, -2, -4, -8 \), удовлетворяют условию, и для них корень уравнения является натуральным числом.

Итак, все целые значения \( a \), при которых корень уравнения \( ax = -8 \) является натуральным числом:

\[ \boxed{-1, -2, -4, -8} \]