Решите уравнение через дискриминант 3(5х+3)(4х²-1)=8(4х²-1)²

Для решения уравнения \( 3(5x + 3)(4x^2 - 1) = 8(4x^2 - 1)^2 \) воспользуемся методом дискриминанта, но сначала упростим уравнение.

1. Разделим обе стороны на \( 4x^2 - 1 \), при условии, что \( 4x^2 - 1 \neq 0 \): \[ 3(5x + 3) = 8(4x^2 - 1) \] Обратите внимание, что если \( 4x^2 - 1 = 0 \), то \( x = \pm \frac{1}{2} \) — это мы проверим позже.

2. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 3(5x + 3) = 32x^2 - 8 \] Раскроем скобки: \[ 15x + 9 = 32x^2 - 8 \] Переносим все в одну сторону: \[ 32x^2 - 15x - 17 = 0 \]

3. Теперь находим дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-17) = 225 + 2176 = 2401 \]

4. Теперь определим корни уравнения с помощью формул: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{2401}}{2 \cdot 32} \] Вычислим \( \sqrt{2401} = 49 \): \[ x_{1,2} = \frac{15 \pm 49}{64} \]

5. Находим два корня:

   • Для \( x_1 \): \[ x_1 = \frac{15 + 49}{64} = \frac{64}{64} = 1 \]
   • Для \( x_2 \): \[ x_2 = \frac{15 - 49}{64} = \frac{-34}{64} = -\frac{17}{32} \]

6. Теперь проверим корни, связанные с \( 4x^2 - 1 = 0 \):

   • \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = -\frac{1}{2} \). Эти значения необходимо подставить в исходное уравнение.

Теперь у нас есть три потенциальных решения:

• \( x_1 = 1 \)
• \( x_2 = -\frac{17}{32} \)
• \( x_{3,4} = \frac{1}{2} \) и \( x = -\frac{1}{2} \) (проверить нужно отдельно).

Таким образом, окончательные решения:

• \( x = 1 \)
• \( x = -\frac{17}{32} \)
• \( x = \frac{1}{2} \)
• \( x = -\frac{1}{2} \)

Если у вас есть вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь задавать!