Решите уравнение через дискриминант 9((3х-4)²-(2х-10)²)=(х+6)²(5х-14)²

Для решения уравнения \( 9((3x-4)² - (2x-10)²) = (x+6)²(5x-14)² \) через дискриминант, начнем с упрощения левой и правой частей уравнения.

1. Упростим левую часть: Используем формулу разности квадратов: \( a² - b² = (a-b)(a+b) \), где:

   • \( a = 3x - 4 \)
   • \( b = 2x - 10 \)

   Тогда: \[ (3x - 4)² - (2x - 10)² = ((3x - 4) - (2x - 10)) \cdot ((3x - 4) + (2x - 10)) \] Найдем \( (3x - 4) - (2x - 10) = 3x - 4 - 2x + 10 = x + 6 \) и \( (3x - 4) + (2x - 10) = 3x - 4 + 2x - 10 = 5x - 14 \).

   Таким образом, \[ (3x - 4)² - (2x - 10)² = (x + 6)(5x - 14) \] Подставляем это в уравнение: \[ 9((x + 6)(5x - 14)) = (x + 6)²(5x - 14)² \]

2. Упростим уравнение: Теперь можно разделить обе стороны на \( (x + 6)(5x - 14) \), при условии, что \( x \neq -6 \) и \( x \neq \frac{14}{5} \): \[ 9 = (x + 6)(5x - 14) \] Перепишем это уравнение: \[ (x + 6)(5x - 14) - 9 = 0 \]

3. Раскроем скобки: \[ 5x² - 14x + 30x - 84 - 9 = 0 \] Упрощаем: \[ 5x² + 16x - 93 = 0 \]

4. Найдем дискриминант: Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле \( D = b² - 4ac \), где \( a = 5 \), \( b = 16 \), \( c = -93 \): \[ D = (16)² - 4 \cdot 5 \cdot (-93) = 256 + 1860 = 2116 \]

5. Решим уравнение: Так как дискриминант положителен, у нас будет два различных корня. Корни находятся по формуле: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_1, x_2 = \frac{-16 \pm \sqrt{2116}}{10} \]

   Сначала найдем \( \sqrt{2116} \) — это 46: \[ x_1, x_2 = \frac{-16 \pm 46}{10} \]

   Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{30}{10} = 3, \quad x_2 = \frac{-62}{10} = -6.2 \]

6. Запишите ответы: Таким образом, найденные корни уравнения: \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -6.2 \]

Если у вас есть еще вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!