K-2 I вариант Решите неравенство (1-2): 1. а) (х - 2)(х - 3)(х - 4) > 0; 2. a) < 0; б) 8‡-4 > 2; x+ 1 ‡ー1 6) (x2 + 3x)(2x - 1) < 0. B) * -9>0. 2 + * (x + 1)(x -3) <0, 8. Решите систему неравенств (x -1)(x -2) >0. 4. Найдите все решения системы неравенств （エー1）（x-5）40， x >2, удовлетворяющие неравенству / < 3. 5*. Решите неравенство (8x + 173 -+ 3< 0. 3x+1 6*. Катер прошел 9 км по течению реки и 21 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 16 км/ч.

Давайте решим неравенства и задачи по порядку.

1. Решение неравенства \((x - 2)(x - 3)(x - 4) > 0\)

1. Нахождение корней: \(x = 2\), \(x = 3\), \(x = 4\).

2. Определяем интервалы:

   • \((-∞, 2)\)
   • \((2, 3)\)
   • \((3, 4)\)
   • \((4, +∞)\)

3. Проверим знаки произведения на каждом интервале:

   • Для \(x < 2\) (например, \(x = 0\)): \((0 - 2)(0 - 3)(0 - 4) > 0\) ⇒ знак положительный.
   • Для \(2 < x < 3\) (например, \(x = 2.5\)): \((2.5 - 2)(2.5 - 3)(2.5 - 4) < 0\) ⇒ знак отрицательный.
   • Для \(3 < x < 4\) (например, \(x = 3.5\)): \((3.5 - 2)(3.5 - 3)(3.5 - 4) < 0\) ⇒ знак отрицательный.
   • Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \((5 - 2)(5 - 3)(5 - 4) > 0\) ⇒ знак положительный.

4. Ответ: \(x \in (-∞, 2) \cup (4, +∞)\).

2. Решение неравенства \( (x + 1)(x - 3) < 0 \)

1. Нахождение корней: \(x = -1\), \(x = 3\).

2. Определяем интервалы:

   • \((-∞, -1)\)
   • \((-1, 3)\)
   • \((3, +∞)\)

3. Проверяем знаки:

   • Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \((-2 + 1)(-2 - 3) > 0\) ⇒ знак положительный.
   • Для \( -1 < x < 3\) (например, \(x = 0\)): \((0 + 1)(0 - 3) < 0\) ⇒ знак отрицательный.
   • Для \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \((4 + 1)(4 - 3) > 0\) ⇒ знак положительный.

4. Ответ: \(x \in (-1, 3)\).

3. Решение неравенства \((x^2 + 3x)(2x - 1) < 0\)

1. Нахождение корней:

   • \(x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0, -3\).
   • \(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

2. Интервалы:

   • \((-∞, -3)\)
   • \((-3, 0)\)
   • \((0, \frac{1}{2})\)
   • \((\frac{1}{2}, +∞)\)

3. Проверяем знаки:

   • Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): знак положительный.
   • Для \(-3 < x < 0\) (например, \(x = -1\)): знак отрицательный.
   • Для \(0 < x < \frac{1}{2}\) (например, \(x = \frac{1}{4}\)): знак отрицательный.
   • Для \(x > \frac{1}{2}\) (например, \(x = 1\)): знак положительный.

4. Ответ: \(x \in (-3, 0) \cup (0, \frac{1}{2})\).

4. Решим систему неравенств \((x - 1)(x - 2) > 0\) и \(x > 2\)

1. Решение \((x - 1)(x - 2) > 0\):

   • Корни: \(x = 1\) и \(x = 2\).
   • Знаки:
     • Для \(x < 1\): положительный.
     • Для \(1 < x < 2\): отрицательный.
     • Для \(x > 2\): положительный.

   Ответ: \(x ∈ (-∞, 1) \cup (2, +∞)\).

2. С учетом второго неравенства \(x > 2\), пересекаем: Ответ: \(x \in (2, +∞)\).

5. Решение неравенства \(8x + 17 < 3(3x + 1)\)

1. Преобразуем: \[ 8x + 17 < 9x + 3 \] \[ 8x - 9x < 3 - 17 \] \[ -x < -14 \] \[ x > 14 \]

6. Задача о катере

1. Условие: катер прошел 9 км по течению и 21 км против течения, затратив 2 часа.
2. Обозначим скорость течения реки как \(v\).
3. Скорость катера по течению: \(16 + v\), против течения: \(16 - v\).
4. Время в пути: \[ \frac{9}{16 + v} + \frac{21}{16 - v} = 2 \]

Умножим обе стороны на \((16 + v)(16 - v)\) и упростим: \[ 9(16 - v) + 21(16 + v) = 2(256 - v^2) \] Соберем и упростим уравнение: \[ 144 - 9v + 336 + 21v = 512 - 2v^2 \] \[ 12v + 480 = 512 - 2v^2 \] \[ 2v^2 + 12v - 32 = 0 \] Разделим на 2: \[ v^2 + 6v - 16 = 0 \]

Решим уравнение через дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \] \[ v = \frac{-6 ± 10}{2} \] Находим корни: \[ v_1 = 2, \quad v_2 = -8 \quad (\text{негативно, не имеет смысла}) \]

Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.