Правильный треугольник и правильный шестиугольник вписаны в одну окружность. Найдите площади этих фигур, если радиус вписанной окружности треугольника равен √3.

Чтобы найти площади правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну окружность, начнем с радиуса вписанной окружности правильного треугольника. 1. **Правильный треугольник:** Пусть радиус вписанной окружности правильного треугольника равен \( r = \sqrt{3} \). Формула для площади \( S \) правильного треугольника через радиус вписанной окружности выглядит следующим образом: \[ S = \frac{r \cdot a}{2} \] где \( a \) — длина стороны треугольника. Также известно, что для правильного треугольника радиус вписанной окружности связан с длиной стороны через формулу: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Отсюда следует, что: \[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \] Теперь можем найти площадь: \[ S = \frac{r \cdot a}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] 2. **Правильный шестиугольник:** Площадь правильного шестиугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности. Формула для площади \( S \) правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: \[ S_{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot r^2 \] Подставим \( r = \sqrt{3} \): \[ S_{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2} \] Таким образом, площади фигур следующие: - Площадь правильного треугольника: \( 3 \) - Площадь правильного шестиугольника: \( \frac{9\sqrt{3}}{2} \) Если нужны дополнительные разъяснения или помощь с другими темами, дайте знать!