Найдите допустимые значения X²-3X+4
Чтобы найти допустимые значения для выражения \( X^2 - 3X + 4 \), обратим внимание на его форму. Это квадратный трёхчлен, и его график - парабола. В данном случае, чтобы определить допустимые значения, нужно выяснить, может ли этот трёхчлен принимать отрицательные или положительные значения.
Найдем дискриминант: Дискриминант \( D \) для квадратного уравнения имеет вид: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 4 \): \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \]
Анализ дискриминанта: Поскольку дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), это означает, что уравнение \( X^2 - 3X + 4 = 0 \) не имеет действительных корней, и график параболы не пересекает ось X.
Направление ветвей параболы: Так как коэффициент \( a \) положительный (равен 1), ветви параболы направлены вверх.
Определение допустимых значений: Поскольку график параболы не пересекает ось X и открыт вверх, значение минимальной точки параболы является его наименьшим значением. Чтобы найти это минимальное значение, можно использовать формулу для нахождения координат вершины параболы: \[ X_{вершина} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} \]
Подставим \( X = \frac{3}{2} \) в исходное выражение: \[ Y = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 \] Приведём к общему знаменателю: \[ = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{16}{4} = \frac{9 - 18 + 16}{4} = \frac{7}{4} \]
Таким образом, минимальное значение \( Y \) равно \( \frac{7}{4} \).
- Заключение: Таким образом, допустимые значения для выражения \( X^2 - 3X + 4 \) начинаются от \( \frac{7}{4} \) и идут до бесконечности: \[ Y \geq \frac{7}{4} \] Это означает, что для всех значений \( X \) функция всегда будет принимать значения не менее \( \frac{7}{4} \).
