постройте график функции у=-х²+2х+1

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 + 2x + 1 \), начнем с определения формы этой функции. Это квадратная функция, и у неё парабола, которая открывается вниз из-за отрицательного коэффициента при \( x^2 \).

Шаг 1: Находим координаты вершины параболы

Вершина параболы для функции вида \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] где \( a = -1 \), \( b = 2 \).

Подставим значения: \[ x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \]

Теперь подставим \( x = 1 \) в уравнение функции, чтобы найти значение \( y \): \[ y = -1^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, 2) \).

Шаг 2: Находим пересечения с осью X и Y

1. Пересечение с осью Y: Это значение функции при \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 2(0) + 1 = 1 \] Точка пересечения с осью Y: \( (0, 1) \).

2. Пересечение с осью X: Чтобы найти корни уравнения, приравняем \( y \) к нулю: \[ -x^2 + 2x + 1 = 0 \] Умножим на -1, чтобы упростить выражение: \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \] Корни уравнения находят по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Таким образом, точки пересечения с осью X: \[ x_1 = 1 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{2} \]

Шаг 3: Построение графика

Теперь с координатами вершины \( (1, 2) \) и пересечениями с осями:

• Пересечение с осью Y: \( (0, 1) \)
• Пересечения с осью X: \( (1 + \sqrt{2}, 0) \) и \( (1 - \sqrt{2}, 0) \)

1. Нанесите точки на координатную плоскость.
2. Постройте параболу, открывающуюся вниз, проходящую через эти ключевые точки.

График будет выглядеть как классическая парабола, сосредоточенная вокруг своей вершины. Вышеуказанные шаги помогут вам в построении точного графика функции. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!