Найдите точку максимума функции y = (20 - 2x) * e ^ (2x + 10)
Чтобы найти точку максимума функции \( y = (20 - 2x) e^{(2x + 10)} \), необходимо выполнить несколько шагов.
- Найти производную функции. Для этого будем использовать правило произведения. Функция состоит из двух частей: \( u = 20 - 2x \) и \( v = e^{(2x + 10)} \). Производная \( y' \) будет равна:
\[ y' = u'v + uv' \]
где:
- \( u' = -2 \)
- \( v' = 2e^{(2x + 10)} \) (по правилу дифференцирования экспоненциальной функции)
Следовательно,
\[ y' = (-2)e^{(2x + 10)} + (20 - 2x)(2e^{(2x + 10)}) \]
Упрощаем:
\[ y' = -2e^{(2x + 10)} + 2(20 - 2x)e^{(2x + 10)} \] \[ y' = 2(20 - 2x - 1)e^{(2x + 10)} = 2(19 - 2x)e^{(2x + 10)} \]
- Найти критические точки. Чтобы найти максимумы и минимумы, приравняем производную к нулю:
\[ 2(19 - 2x)e^{(2x + 10)} = 0 \]
Так как \( e^{(2x + 10)} \) никогда не равно нулю, остается решить:
\[ 19 - 2x = 0 \]
Из этого уравнения получаем:
\[ 2x = 19 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{19}{2} = 9.5 \]
- Проверить, является ли эта точка максимумом. Для этого можно использовать второй производной тест. Найдем вторую производную \( y'' \).
Так как функция \( y' = 2(19 - 2x)e^{(2x + 10)} \), найдем её производную \( y'' \):
Принимая во внимание, что хотя бы одна часть \( e^{(2x + 10)} \) всегда положительна, мы можем проанализировать знак \( 19 - 2x \) при \( x = 9.5 \):
Если \( x < 9.5 \), то \( 19 - 2x > 0 \), значит \( y' > 0 \) (функция возрастает). Если \( x > 9.5 \), то \( 19 - 2x < 0 \), значит \( y' < 0 \) (функция убывает).
Таким образом, в \( x = 9.5 \) находится максимум.
- Подставим \( x = 9.5 \) обратно в исходную функцию для нахождения максимального значения:
\[ y = (20 - 2 \cdot 9.5) e^{(2 \cdot 9.5 + 10)} = (20 - 19)e^{(19+10)} = 1 e^{29} = e^{29} \]
Таким образом, точка максимума функции \( y = (20 - 2x)e^{(2x + 10)} \) находится в точке \( x = 9.5 \), и максимальное значение функции равно \( e^{29} \).
