A) (sin x + cos x) ^ 2 = 1 + cos x

Для решения уравнения \( ( \sin x + \cos x )^2 = 1 + \cos x \), начнем с того, что раскроем квадрат слева:

\[ ( \sin x + \cos x )^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \]

Используя известное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), можем заменить \( \sin^2 x + \cos^2 x \) на \( 1 \):

\[ 1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \cos x \]

Теперь, упростим уравнение, убрав \( 1 \) с обеих сторон:

\[ 2 \sin x \cos x = \cos x \]

Следующий шаг - вынесем \( \cos x \) за скобки:

\[ \cos x (2 \sin x - 1) = 0 \]

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. \( \cos x = 0 \)
2. \( 2 \sin x - 1 = 0 \), что приводит к \( \sin x = \frac{1}{2} \).

Решим эти два случая по отдельности.

Случай 1: \( \cos x = 0 \)

Это происходит, когда:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Это происходит, когда:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, окончательные решения уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь задавать!