2arctg 1 - 2 arcsin 1/2

Для решения выражения \(2 \cdot \text{arctg} \, 1 - 2 \cdot \text{arcsin} \, \frac{1}{2}\) начнем по частям.

1. Рассмотрим \(\text{arctg} \, 1\). Углом, для которого тангенс равен 1, является \(\frac{\pi}{4}\) (или 45 градусов), так как \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\).

   Таким образом, \[ 2 \cdot \text{arctg} \, 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. \]

2. Теперь посмотрим на \(\text{arcsin} \, \frac{1}{2}\). Углом, для которого синус равен \(\frac{1}{2}\), является \(\frac{\pi}{6}\) (или 30 градусов), так как \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\).

   Таким образом, \[ 2 \cdot \text{arcsin} \, \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}. \]

3. Теперь объединим результаты: \[ 2 \cdot \text{arctg} \, 1 - 2 \cdot \text{arcsin} \, \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}. \]

4. Для вычитания дробей найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 2 и 3 равен 6: \[ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}. \] Поэтому, \[ \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{1\pi}{6} = \frac{\pi}{6}. \]

Итак, окончательный ответ: \[ 2 \cdot \text{arctg} \, 1 - 2 \cdot \text{arcsin} \, \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}. \]