Log2(36* 3√16)

Конечно! Давайте решим выражение \( \log_2(36 \times \sqrt[3]{16}) \).

1. Сначала упростим выражение под логарифмом. Начнём с \( \sqrt[3]{16} \).

   Мы знаем, что \( 16 = 2^4 \). Таким образом: \[ \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{4/3} \]

2. Теперь подставим это значение в исходное выражение: \[ 36 \times \sqrt[3]{16} = 36 \times 2^{4/3} \]

   Обратите внимание, что \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \). Так что: \[ 36 = 2^2 \cdot 3^2 \]

3. Теперь объединим все вместе: \[ 36 \times \sqrt[3]{16} = (2^2 \cdot 3^2) \times (2^{4/3}) = 2^{2 + 4/3} \cdot 3^2 \]

   Для упрощения: \[ 2 + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \]

   Таким образом, мы имеем: \[ 36 \times \sqrt[3]{16} = 2^{10/3} \cdot 3^2 \]

4. Теперь подставим это в логарифм: \[ \log_2(36 \times \sqrt[3]{16}) = \log_2(2^{10/3} \cdot 3^2) \]

5. Используем свойства логарифмов: \[ \log_2(2^{10/3} \cdot 3^2) = \log_2(2^{10/3}) + \log_2(3^2) \]

6. Вычислим каждый логарифм:

   • \( \log_2(2^{10/3}) = \frac{10}{3} \)
   • \( \log_2(3^2) = 2 \cdot \log_2(3) \)

   Таким образом, итоговое выражение: \[ \log_2(36 \times \sqrt[3]{16}) = \frac{10}{3} + 2\log_2(3) \]

Итак, мы пришли к окончательному ответу: \[ \log_2(36 \times \sqrt[3]{16}) = \frac{10}{3} + 2\log_2(3) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!