(x+1)(x-4)(x-2)<0

Для решения неравенства \((x+1)(x-4)(x-2)<0\) начнем с нахождения корней выражения. Корни этого произведения будут находиться там, где каждый множитель равен нулю:

1. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
2. \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
3. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Теперь у нас есть три корня: \(-1\), \(2\) и \(4\). Эти корни делят числовую прямую на несколько интервалов:

1. \((-∞, -1)\)
2. \((-1, 2)\)
3. \((2, 4)\)
4. \((4, ∞)\)

Теперь определим знак произведения в каждом из интервалов. Для этого можно взять тестовые точки из каждого интервала и подставить их в выражение:

1. Для интервала \((-∞, -1)\), например, \(x = -2\): \(((-2+1)(-2-4)(-2-2) = (-1)(-6)(-4) = -24\) (значение отрицательное)

2. Для интервала \((-1, 2)\), например, \(x = 0\): \(((0+1)(0-4)(0-2) = (1)(-4)(-2) = 8\) (значение положительное)

3. Для интервала \((2, 4)\), например, \(x = 3\): \(((3+1)(3-4)(3-2) = (4)(-1)(1) = -4\) (значение отрицательное)

4. Для интервала \((4, ∞)\), например, \(x = 5\): \(((5+1)(5-4)(5-2) = (6)(1)(3) = 18\) (значение положительное)

Теперь можно подвести итоги по знакам во всех интервалах:

• В интервале \((-∞, -1)\): отрицательный
• В интервале \((-1, 2)\): положительный
• В интервале \((2, 4)\): отрицательный
• В интервале \((4, ∞)\): положительный

Таким образом, неравенство \((x+1)(x-4)(x-2) < 0\) выполняется в интервалах:

• \((-∞, -1)\)
• \((2, 4)\)

Итоговое решение может быть записано как:

\(x \in (-∞, -1) \cup (2, 4)\)

Это означает, что значения \(x\) в указанных интервалах удовлетворяют неравенству.