В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, эта точка принадлежит: а) вписанному круг квадрату; 6) вписанному в круг равностороннему треугольнику.
Для решения данной задачи рассмотрим два случая: нахождение вероятности того, что случайно выбранная точка принадлежит вписанному квадрату и вписанному равностороннему треугольнику.
- Вероятность, что точка принадлежит вписанному кругу квадрату:
Пусть круг имеет радиус \( R \). Когда мы вписываем квадрат в круг, диагональ квадрата равна диаметру круга, то есть \( D = 2R \). Это означает, что сторона квадрата может быть найдено по формуле:
\[ s = \frac{D}{\sqrt{2}} = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} \]
Площадь квадрата \( S_{квадрат} \) будет равна:
\[ S_{квадрат} = s^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2 \]
Площадь круга \( S_{круг} \) равна:
\[ S_{круг} = \pi R^2 \]
Теперь, чтобы найти вероятность \( P \) того, что случайно выбранная точка принадлежит квадрату, нужно разделить площадь квадрата на площадь круга:
\[ P = \frac{S_{квадрат}}{S_{круг}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi} \]
Таким образом, вероятность того, что точка принадлежит вписанному квадрату, равна \( \frac{2}{\pi} \).
- Вероятность, что точка принадлежит вписанному в круг равностороннему треугольнику:
Для равностороннего треугольника, вписанного в круг радиуса \( R \), высота \( h \) равна \( R \). Сторона равностороннего треугольника \( a \) определяется как:
\[ a = R \sqrt{3} \]
Площадь равностороннего треугольника \( S_{треугольник} \) вычисляется по формуле:
\[ S_{треугольник} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 \]
Теперь, вычислим вероятность \( P' \) для равностороннего треугольника:
\[ P' = \frac{S_{треугольник}}{S_{круг}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \]
Таким образом, вероятность того, что точка принадлежит вписанному равностороннему треугольнику, равна \( \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \).
В заключение, ответы на ваши вопросы:
- Вероятность, что точка принадлежит вписанному в круг квадрату, составляет \( \frac{2}{\pi} \).
- Вероятность, что точка принадлежит вписанному в круг равностороннему треугольнику, составляет \( \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \).
