треугольник ABC тупоугольный угол B=135°, сторона а=3 сторона c=5√2 .найти сторону в
Чтобы найти сторону \(b\) в треугольнике ABC, где угол \(B = 135^\circ\), сторона \(a = 3\) и сторона \(c = 5\sqrt{2}\), можно воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема позволяет находить сторону треугольника, если известны две стороны и угол между ними.
Формула теоремы косинусов выглядит так:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(B) \]
В нашем случае подставим известные значения:
- \(c = 5\sqrt{2}\)
- \(a = 3\)
- \(B = 135^\circ\)
Сначала найдем \(\cos(135^\circ)\):
\[ \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ (5\sqrt{2})^2 = 3^2 + b^2 - 2 \cdot 3 \cdot b \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]
Теперь вычислим каждую часть:
\[ 50 = 9 + b^2 + \frac{6b}{\sqrt{2}} \]
Упрощаем уравнение:
\[ 50 = 9 + b^2 + 3\sqrt{2}b \]
Переносим все в левую часть:
\[ b^2 + 3\sqrt{2}b + 9 - 50 = 0 \]
\[ b^2 + 3\sqrt{2}b - 41 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение по формуле:
\[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \]
Где \(A = 1\), \(B = 3\sqrt{2}\), \(C = -41\):
- Находим дискриминант:
\[ D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-41) = 18 + 164 = 182 \]
- Затем находим корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{182} = \sqrt{(91 \cdot 2)} = \sqrt{91} \cdot \sqrt{2} \]
Теперь подставляем в формулу для \(b\):
\[ b = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{182}}{2} \]
Получаем два значения для \(b\):
\[ b_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{182}}{2}\quad \text{и} \quad b_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{182}}{2} \]
Так как сторона треугольника должна быть положительной, выбираем только положительный корень:
\[ b = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{182}}{2} \]
Это и будет искомая сторона \(b\).
