Исследовать функцию на экстримум Y=-x²+98x+200 на промежутке [30;300]
Чтобы исследовать функцию \( Y = -x^2 + 98x + 200 \) на экстремум в промежутке \([30; 300]\), нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции: Производная функции поможет нам определить точки, в которых функция достигает максимумов или минимумов. Рассмотрим производную \( Y \):
\[ Y' = -2x + 98 \]
Найти критические точки: Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\[ -2x + 98 = 0 \]
Решив это уравнение, получаем:
\[ 2x = 98 \quad \Rightarrow \quad x = 49 \]
Проверка, находится ли критическая точка в заданном промежутке: Критическая точка \( x = 49 \) находится в промежутке \([30; 300]\).
Определить тип экстремума: Для этого найдем вторую производную функции:
\[ Y'' = -2 \]
Поскольку вторая производная отрицательна (\( Y'' < 0 \)), это указывает на то, что функция достигает максимума в точке \( x = 49 \).
Найти значение функции в критической точке и на границах промежутка: Теперь вычислим значения функции \( Y \) в критической точке и на границах заданного промежутка.
- В точке \( x = 49 \):
\[ Y(49) = -49^2 + 98 \cdot 49 + 200 = -2401 + 4802 + 200 = 2601 \]
- В точке \( x = 30 \):
\[ Y(30) = -30^2 + 98 \cdot 30 + 200 = -900 + 2940 + 200 = 2240 \]
- В точке \( x = 300 \):
\[ Y(300) = -300^2 + 98 \cdot 300 + 200 = -90000 + 29400 + 200 = -60200 \]
Сравнить значения: Теперь сравним значения функции в критической точке и на границах:
- \( Y(49) = 2601 \)
- \( Y(30) = 2240 \)
- \( Y(300) = -60200 \)
Таким образом, максимальное значение функции на промежутке \([30; 300]\) достигается в точке \( x = 49 \) и равно \( 2601 \). Функция убывает на границах, так что мы можем сделать вывод, что:
- Максимум: \( x = 49, Y = 2601 \)
- Минимумы на границах: \( x = 30, Y = 2240\) и \( x = 300, Y = -60200\)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения, не стесняйтесь задавать!
