Исследовать функцию на экстримум Y=-8+x³+150 на промежутке [6;20]

Чтобы исследовать функцию \( Y = -8 + x^3 + 150 \) на экстримум на промежутке \([6; 20]\), следуем нескольким шагам.

1. Определим производную функции. Функция \( Y \) в упрощённой форме будет выглядеть как \( Y = x^3 + 142 \). Найдём её первую производную: \[ Y' = \frac{dY}{dx} = 3x^2 \]

2. Найдем критические точки. Критическими точками называют такие значения \( x \), при которых производная равна нулю или не существует. Устанавливаем уравнение: \[ Y' = 3x^2 = 0 \] Отсюда следует, что: \[ x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] Однако, точка \( x = 0 \) не входит в наш промежуток \([6; 20]\), поэтому проверяем концы промежутка.

3. Вычисляем значения функции на границах промежутка. Рассмотрим границы \( x = 6 \) и \( x = 20 \):

   • Для \( x = 6 \): \[ Y(6) = -8 + 6^3 + 150 = -8 + 216 + 150 = 358 \]
   • Для \( x = 20 \): \[ Y(20) = -8 + 20^3 + 150 = -8 + 8000 + 150 = 8142 \]

4. Сравниваем значения. Мы нашли значения функции на границах промежутка:

   • \( Y(6) = 358 \)
   • \( Y(20) = 8142 \)

5. Вывод. Поскольку нет критических точек в интервале \([6; 20]\), а значения функции на границах разнятся, можно сделать вывод, что:

   • Минимум функции на данном промежутке достигается в \( x = 6 \) и равен \( 358 \).
   • Балмиум функции достигается в \( x = 20 \) и равен \( 8142 \).

Таким образом, функция \( Y = -8 + x^3 + 150 \) имеет минимум в точке \( x = 6 \) и максимум в точке \( x = 20 \) на заданном промежутке.