В виде трёхзначного числа 4(a+5)(a-2)
Чтобы решить задачу, нужно представить выражение \( 4(a + 5)(a - 2) \) в виде трехзначного числа. Для этого сначала необходимо раскрыть скобки.
Раскроем скобки: \[ 4(a + 5)(a - 2) = 4 \cdot [(a + 5)(a - 2)] \]
Теперь раскроем произведение двух скобок: \[ (a + 5)(a - 2) = a^2 - 2a + 5a - 10 = a^2 + 3a - 10 \]
Умножим результат на 4: \[ 4(a^2 + 3a - 10) = 4a^2 + 12a - 40 \]
Теперь у нас есть выражение \( 4a^2 + 12a - 40 \). Нам нужно, чтобы это выражение стало трехзначным числом.
Чтобы найти подходящее значение для \( a \), мы должны решить неравенство: \[ 100 \leq 4a^2 + 12a - 40 < 1000 \]
Давайте сначала решим левую часть неравенства: \[ 4a^2 + 12a - 40 \geq 100 \] \[ 4a^2 + 12a - 140 \geq 0 \] \[ a^2 + 3a - 35 \geq 0 \] Теперь найдем корни квадратного уравнения \( a^2 + 3a - 35 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 9 + 140 = 149 \] Корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{149}}{2} \] Приблизительное значение корней: \[ \sqrt{149} \approx 12.21 \Rightarrow a_1 \approx \frac{9.21}{2} \approx 4.605, \quad a_2 \approx \frac{-15.21}{2} \approx -7.605 \]
Таким образом, \( a \) должно быть больше 4.605 или меньше -7.605. Поскольку мы ищем трехзначное число, ограничим \( a \) натуральными числами больше 4: \( a = 5, 6, 7, ..., 9 \).
Теперь решим правую часть неравенства: \[ 4a^2 + 12a - 40 < 1000 \] \[ 4a^2 + 12a - 1040 < 0 \] \[ a^2 + 3a - 260 < 0 \]
Аналогично, найдем корни: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 9 + 1040 = 1049 \] Корни: \[ a = \frac{-3 \pm \sqrt{1049}}{2} \quad \text{и} \quad \sqrt{1049} \approx 32.4 \] Приблизительные значения: \[ a_1 \approx \frac{29.4}{2} \approx 14.7, \quad a_2 \approx \frac{-35.4}{2} \approx -17.7 \]
Следовательно, \( a \) должно быть меньше 14.7. Учитывая все вышесказанное, значениями \( a \) должны быть: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
Теперь подставив определения \( a \), мы можем найти все соответствующие трехзначные значения выражения \( 4(a + 5)(a - 2) \). Рекомендуется проверить результаты для каждого значения \( a \) от 5 до 14, чтобы увидеть, какие из них дают трехзначные числа.
