исследовать функцию на экстримум Y=-8x+x³+150 на промежутке [ 6;20]
Для исследования функции \( Y = -8x + x^3 + 150 \) на заданном промежутке \( [6; 20] \), необходимо выполнить несколько шагов:
Находим производную функции. Производная позволяет определить, где функция достигает максимумов и минимумов. Производная функции \( Y \) будет:
\[ Y' = -8 + 3x^2 \]
Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ -8 + 3x^2 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 3x^2 = 8 \implies x^2 = \frac{8}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{8}{3}} \approx \pm 1.63 \]
Так как мы исследуем промежуток \( [6; 20] \), то критическая точка \( x \approx 1.63 \) не находится внутри этого интервала. Это значит, что функция может не иметь локальных максимумов или минимумов на данном промежутке.
Находим значения функции в границах интервала. Поскольку критических точек в интервале нет, необходимо найти значения функции на границах:
- При \( x = 6 \):
\[ Y(6) = -8(6) + (6)^3 + 150 = -48 + 216 + 150 = 318 \]
- При \( x = 20 \):
\[ Y(20) = -8(20) + (20)^3 + 150 = -160 + 8000 + 150 = 7990 \]
Сравниваем значения. Теперь у нас есть значения функции в границах:
- \( Y(6) = 318 \)
- \( Y(20) = 7990 \)
Таким образом, на промежутке \( [6; 20] \) функция достигает минимума при \( x = 6 \) (значение \( Y = 318 \)) и максимума при \( x = 20 \) (значение \( Y = 7990 \)). Функция монотонно возрастает на данном интервале, так как ее производная не меняет знака.
Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснить какие-то шаги более подробно, не стесняйтесь спрашивать!
