X2-5x-50<0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 5x - 50 < 0\), начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 5x - 50 = 0\).
Найдём дискриминант: Дискриминант \(D\) считается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -50\). Подставим эти значения: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 \]
Найдём корни уравнения: Теперь, используя формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 10\) и \(x_2 = -5\).
Анализируем знак многочлена: Теперь мы можем проанализировать, на каких промежутках функция \(f(x) = x^2 - 5x - 50\) принимает отрицательные значения. Разделим числовую прямую на три интервала, основанные на корнях:
- \(x < -5\)
- \(-5 < x < 10\)
- \(x > 10\)
Проверим знак на каждом интервале:
Для \(x < -5\) (например, \(x = -6\)): \[ f(-6) = (-6)^2 - 5(-6) - 50 = 36 + 30 - 50 = 16 > 0 \]
Для \(-5 < x < 10\) (например, \(x = 0\)): \[ f(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 - 50 = -50 < 0 \]
Для \(x > 10\) (например, \(x = 11\)): \[ f(11) = (11)^2 - 5 \cdot 11 - 50 = 121 - 55 - 50 = 16 > 0 \]
- Вывод: Многочлен \(f(x)\) отрицателен на интервале \((-5, 10)\). Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 5x - 50 < 0\) соответствует интервалу: \[ \boxed{(-5, 10)} \]
