график функции y=-x^2+2x+8

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 + 2x + 8 \), давайте сначала исследуем основные характеристики этой квадратичной функции.

1. Форма параболы: Поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (-1), парабола открыта вниз.

2. Вершина параболы: Вершину квадратичной функции можно найти по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). В нашем уравнении, \( a = -1 \) и \( b = 2 \): \[ x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \] Подставляем \( x = 1 \) в уравнение, чтобы найти координаты вершины: \[ y = -1^2 + 2 \cdot 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, 9) \).

3. Нахождение пересечений с осями:

   • Пересечение с осью \( y \) (где \( x = 0 \)): \[ y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8 \] Таким образом, точка пересечения с осью \( y \) – это \( (0, 8) \).
   • Пересечение с осью \( x \) (где \( y = 0 \)): Решим уравнение \( -x^2 + 2x + 8 = 0 \). Умножим все уравнение на -1, чтобы упростить: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \] Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] Следовательно, точки пересечения с осью \( x \) – это \( (4, 0) \) и \( (-2, 0) \).

4. Построение графика: На основании полученных точек \( (1, 9) \), \( (0, 8) \), \( (4, 0) \), и \( (-2, 0) \) можно нарисовать параболу, открывающуюся вниз, с вершиной в \( (1, 9) \).

Ваш график функции будет иметь следующие ключевые точки:

• Вершина: \( (1, 9) \)
• Пересечение с осью \( y \): \( (0, 8) \)
• Пересечения с осью \( x \): \( (4, 0) \) и \( (-2, 0) \)

Теперь вы готовы построить график функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!