14. Турист на байдарке преодолевает 18 км пути по течению реки и 10 км пути против течения прошел. Время, которое он отправил на эту дорогу, ушло на 28 км пути по озеру то же самое со временем. Если скорость течения реки 2 км/саг, то чему равна скорость каяка? [7]
Для решения задачи начнем с определения переменных и формул:
- Обозначим скорость каяка как \( v_k \) (в км/ч).
- Скорость течения реки равна \( v_t = 2 \) км/ч.
Когда турист движется по течению реки, его эффективная скорость будет равна сумме скорости каяка и скорости течения: \[ v_{\text{по течению}} = v_k + v_t = v_k + 2 \]
Когда он движется против течения, эффективная скорость будет равна разности скорости каяка и скорости течения: \[ v_{\text{против течения}} = v_k - v_t = v_k - 2 \]
Теперь можем записать время, затраченное на путь в байдарке по реке, используя формулу времени \( t = \frac{S}{V} \):
Время по течению (расстояние 18 км): \[ t_{\text{по течению}} = \frac{18}{v_k + 2} \]
Время против течения (расстояние 10 км): \[ t_{\text{против течения}} = \frac{10}{v_k - 2} \]
В условии сказано, что суммарное время, потраченное на речной путь, равно времени, затраченному на озеро (где расстояние 28 км и скорость равна \( v_k \)): \[ t_{\text{озеро}} = \frac{28}{v_k} \]
По условию задачи мы имеем: \[ t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = t_{\text{озеро}} \]
Подставим все уравнения в одно: \[ \frac{18}{v_k + 2} + \frac{10}{v_k - 2} = \frac{28}{v_k} \]
Теперь умножим все части уравнения на \( v_k(v_k + 2)(v_k - 2) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 18v_k(v_k - 2) + 10v_k(v_k + 2) = 28(v_k + 2)(v_k - 2) \]
Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 18v_k^2 - 36v_k + 10v_k^2 + 20v_k = 28(v_k^2 - 4) \] \[ (18 + 10)v_k^2 - 36v_k + 20v_k = 28v_k^2 - 112 \] \[ 28v_k^2 - 16v_k + 112 = 28v_k^2 \]
Сократив на \( 28v_k^2 \): \[ -16v_k + 112 = 0 \]
Решим это уравнение для \( v_k \): \[ 16v_k = 112 \implies v_k = \frac{112}{16} = 7 \text{ км/ч} \]
Итак, скорость каяка составляет \( 7 \) км/ч.
