2sin²x+sinx-1=0

Чтобы решить уравнение \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\), начнем с обозначения \(y = \sin x\). Тогда уравнение принимает вид:

\[ 2y^2 + y - 1 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы квadratного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \(a = 2\), \(b = 1\), и \(c = -1\). Подставим эти значения в формулу:

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}, \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}, \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}, \] \[ y = \frac{-1 \pm 3}{4}. \]

Теперь найдем два возможных значения для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\),
2. \(y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\).

Теперь вернемся к тригонометрической функции \(\sin x\):

1. Для \(\sin x = \frac{1}{2}\):

   • Решения: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

2. Для \(\sin x = -1\):

   • Решение: \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Таким образом, все решения уравнения \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\) могут быть записаны как:

• \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\),
• \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\),
• \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) для любого целого числа \(k\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужен разбор другого материала, не стесняйтесь обращаться!