X⁴-10x²+9=0

Чтобы решить уравнение \( x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \), начнем с замены переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

\[ y^2 - 10y + 9 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = -10 \), и \( c = 9 \). Подставим значения:

\[ y = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = 100 - 36 = 64 \]

Теперь подставляем значение дискриминанта обратно в формулу:

\[ y = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ y = \frac{10 \pm 8}{2} \]

Теперь найдем два значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
2. \( y_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Теперь вспомним, что мы искали \( x^2 = y \). Значит, у нас есть:

1. \( x^2 = 9 \)
2. \( x^2 = 1 \)

Теперь извлечем корень из каждого уравнения:

1. Из \( x^2 = 9 \) получаем \( x = 3 \) и \( x = -3 \).
2. Из \( x^2 = 1 \) получаем \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Итак, все решения уравнения \( x^4 - 10x^2 + 9 = 0 \) следующие:

\[ x = 3, \, x = -3, \, x = 1, \, x = -1 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!