2tg 22,5⁰/1-tg² 22,5⁰

Чтобы решить выражение \( \frac{2 \tan 22.5^\circ}{1 - \tan^2 22.5^\circ} \), мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими идентичностями.

Во-первых, отметим, что \( \tan 22.5^\circ \) – это тангенс угла \( 22.5^\circ \). Для нахождения значения \( \tan 22.5^\circ \), мы можем воспользоваться половинным углом. Известно, что:

\[ \tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \]

где \( \theta = 45^\circ \). Так что:

\[ \tan 22.5^\circ = \tan \left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} \]

Упрощая это, получим:

\[ \tan 22.5^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} \]

Теперь давайте обозначим \( x = \tan 22.5^\circ \). Подставляем это в исходное выражение:

\[ \frac{2x}{1 - x^2} \]

Согласно формуле двойного угла для тангенса, мы знаем, что:

\[ \tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \]

Таким образом, если \( \alpha = 22.5^\circ \), то \( 2\alpha = 45^\circ \) и мы можем написать:

\[ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{2 \tan 22.5^\circ}{1 - \tan^2 22.5^\circ} \]

Следовательно,

\[ \frac{2 \tan 22.5^\circ}{1 - \tan^2 22.5^\circ} = 1 \]

Итак, результат выражения \( \frac{2 \tan 22.5^\circ}{1 - \tan^2 22.5^\circ} \) равен 1.