На числовой прямой даны два отрезка: P = [25; 120], Q = [54; 75]. Найдите наименьшую возможную длину отрезка A, при котором формула (x принадлежит Q) → ( ((x принадлежит P) эквивалентно (x принадлежит Q)) \/ (¬ (x принадлежит P) → (x принадлежит A)) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Чтобы найти наименьшую возможную длину отрезка \(A\), давайте разберёмся с условием.

Имеем:

• Отрезок \(P = [25; 120]\)
• Отрезок \(Q = [54; 75]\)

Наша задача — проанализировать формулу:

\[ (x \in Q) \rightarrow \left( ((x \in P) \Leftrightarrow (x \in Q)) \lor (\neg (x \in P) \rightarrow (x \in A)) \right) \]

Данная формула должна быть тождественно истинна, т.е. мы должны проверить, при каких условиях это будет выполняться для всех \(x\).

1. Разберем выражение

• \(x \in Q\) у нас на интервале \(Q\) = [54; 75].
• \(x \in P\) у нас на интервале \(P\) = [25; 120].

Подразбиение логических дополнительных условий:

1. Для \(x \in Q\) (то есть когда \(54 \leq x \leq 75\)):
   • Условия выражения: \( (x \in P) \Leftrightarrow (x \in Q) \)
   • Здесь \(x \in P\) также, когда \(25 \leq x \leq 120\).

Так, в области пересечения \(P\) и \(Q\):

• Для \(x \in [54; 75]\), оно одновременно принадлежит \(P\), потому что \(54 \geq 25\) и \(75 \leq 120\).

2. Теперь необходимо понимать, что требуется, чтобы формула была тождественно истинна.

• На данном интервале \(x \in Q\) всегда \(x \in P\) (так как \(54\) и \(75\) внутри отрезка \(P\)), поэтому \( (x \in P) \Leftrightarrow (x \in Q) \) для \(x \in Q\) будет истинно.

Следовательно, в этой части формула уходит в истину, можем сказать, что эта часть не требует дополнений.

2. Для \(x, \notin Q\):

Для \(x \notin Q\) (т.е. для \(x < 54\) и \(x > 75\)), требуется:

• \(N: \neg (x \in P) \rightarrow (x \in A)\).

Таким образом:

• Если \(x < 54\), тогда оно не попадает в \(P\) (то есть \(x \notin P\)). Согласно импликации, должно выполняться, что \(x \in A\).
• Если \(x > 75\), \(x \notin P\) также, и также для этого значения необходимо включение в отрезок \(A\).

3. Определение отрезка \(A\)

Учитывая это, \(A\) должен включать все значения \(x < 54\) и \(x > 75\).

Таким образом, \(A\) должен быть:

\[ A = (-\infty, 54) \cup (75, +\infty) \]

Длина \(A\):

• Находим длину в каждой части:
  • Первая часть: от \(-\infty\) до \(54\) не имеет определенной длины (неотрицательный).
  • Вторая часть: от \(75\) до \(+\infty\) также не имеет определенной длины.

Но теоретически, если рассматривать компактный отрезок, нужно взять все точки, которое должно минимизировать, а значит, надо взять крайние значения.

Итак, минимальная длина отрезка составляет: \(\mathbf{19}\)

Заключение

Учитываем вышеизложенное, минимальная длина отрезка \(A\) будет равна \(A = [54, 75]\), длина \( = 19\).