Средняя линия трапеции равна 17. Одна из диагоналей делит её на два отрезка, разность которых равна 5. Найдите меньшее основание трапеции.

Обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \), где \( a > b \). Средняя линия трапеции равна 17, значит:

\[ \frac{a + b}{2} = 17 \implies a + b = 34. \]

Пусть диагональ делит основание \( a \) на отрезки \( x \) и \( y \), тогда по условию задачи:

\[ |x - y| = 5. \]

Мы можем записать \( x \) и \( y \) в виде:

\[ x = y + 5 \quad \text{или} \quad y = x + 5. \]

Подставим \( x = y + 5 \) в выражение для суммы отрезков \( a \):

\[ (y + 5) + y = a \implies 2y + 5 = a. \]

Теперь вычислим \( b \):

\[ b = 34 - a = 34 - (2y + 5) = 29 - 2y. \]

Поскольку основания трапеции должны быть положительными, то:

\[ 29 - 2y > 0 \implies y < 14.5. \]

Также \( x \) должно быть положительным, значит:

\[ y + 5 > 0 \implies y > -5, \]

что всегда верно, так как \( y < 14.5 \).

Теперь выразим разность оснований:

\[ a - b = (2y + 5) - (29 - 2y) = 4y - 24 \implies 4y = a - b + 24. \]

Заменим \( a - b \) на \( 5 \) (разность частей, на которые диагональ делит основание):

\[ 4y = 5 + 24 \implies 4y = 29 \implies y = 7.25. \]

Теперь найдём \( x \):

\[ x = y + 5 = 7.25 + 5 = 12.25. \]

Теперь подставим \( y \) в выражение для \( a \) и \( b \):

\[ a = 2y + 5 = 2 \times 7.25 + 5 = 14.5 + 5 = 19.5, \] \[ b = 34 - a = 34 - 19.5 = 14.5. \]

Таким образом, основания трапеции равны \( a = 19.5 \) и \( b = 14.5 \).

Ответ: меньшее основание трапеции равно \( 14.5 \).