В данном предложении присутствует причастие «ездивших», которое относится к подлежащему «лакей». Причастие образовано от глагола «ездить» и указывает на действие, которое выполняли лакеи. Оно описывает их как тех, кто совершал поездку за каретой бабушки.
Если у тебя есть вопросы о других аспектах русской грамматики или необходимости проанализировать другие конструкции, не стесняйся спрашивать!