Друзья отправились от дока навстречу брёвнам на моторной лодке через 8 ч. Через 2 ч после выезда лодка доплыла до сплавляемых брёвен. Скорость моторной лодки против течения составила 15 км/ч. Какова средняя скорость течения реки, по которой сплавили брёвна?
Для решения этой задачи давайте сначала обозначим некоторые переменные:
- \( v \) — средняя скорость течения реки (км/ч).
- Скорость лодки в тихой воде (без течения) будет равна \( v + 15 \) км/ч, так как длина движения против течения уменьшает скорость.
Лодка плыла 2 часа, и за это время она преодолела расстояние до брёвен. Это расстояние можно выразить следующим образом:
\[ d = (v + 15) \times 2 \]
После того как лодка достигла брёвен, она продолжила движение в течение оставшихся 6 часов (поскольку общее время в пути составило 8 часов). На этом этапе лодка движется по течению, поэтому ее скорость составит \( v + 15 \) км/ч.
Теперь можно вычислить расстояние, которое ло́дка проходит за следующие 6 часов:
\[ d = (v + 15) \times 6 \]
Сравнив два выражения для расстояния, мы можем установить следующее уравнение:
\[ (v + 15) \times 2 = (v + 15) \times 6 \]
С этого уравнения мы можем вывести:
- Упрощаем оба уравнения. Если делим обе стороны на \( v + 15 \) (предполагаем, что эта величина не равна нулю), получим:
\[ 2 = 6 \]
Это уравнение не имеет смысла (что может происходить только если при равенстве скоростей существовало бы иное соотношение на самом деле). Поэтому пересмотрим:
На самом деле, когда лодка движется по течению, добавляется скорость течения, и у нас будет два уравнения:
Лодка плыла до брёвен \( d_1 \) и потом 6 часов до конца пути \( d_2 \).
Тем не менее основная логика рассматривает, что скорость брёвен равна скорости лодки.
Решим проще. Мы знаем, что \( v \) скоростью лодки (которую мы не можем получить прямым путем) зависит от переменных и дает нам необходимое значение. Упрощенно:
Пусть \( x \) — скорость течения. Мы рассматриваем два случая:
\( 15 - x \) (в обратку) = 2
за 6 часов (вперед) = \( 6(x) \) Теперь у нас система уравнений:
\( 2(15 - x) = 6(x) \)
Найдем \( x \):
\[ 30 - 2x = 6x \] \[ 30 = 8x \] \[ x = \frac{30}{8} = 3.75 \text{ км/ч}. \]
Таким образом, средняя скорость течения реки составляет \( 3.75 \) км/ч.
