Найти область определения корень 6х в квадрате -7x +10
Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \sqrt{6x^2 - 7x + 10} \), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это значит, что необходимо решить неравенство:
\[ 6x^2 - 7x + 10 \geq 0. \]
Найдём дискриминант: Он поможет нам определить, есть ли у квадратного уравнения корни.
Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 6 \), \( b = -7 \), \( c = 10 \).
Подставим значения: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 49 - 240 = -191. \]
Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.
Анализ знака: Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положительный (6 > 0), функция \( 6x^2 - 7x + 10 \) всегда положительна для любых \( x \) из множества действительных чисел.
Таким образом, подкоренное выражение всегда неотрицательное, и область определения функции \( f(x) = \sqrt{6x^2 - 7x + 10} \) — это все действительные числа:
\[ x \in \mathbb{R}. \]
Таким образом, ответ: область определения — все действительные числа.
