Стрелок производит 4 выстрела по мишени.Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3.Найти закон распределения случайной величины Х- количества попаданий, М(х), Д(х) б(х)
Чтобы решить данную задачу, давайте разберёмся с распределением случайной величины \(X\), которая у нас представляет собой количество попаданий при 4 выстрелах по мишени.
Поскольку каждый выстрел является независимым, и вероятность попадания при каждом выстреле равна \(0,3\), мы используем биномиальное распределение. Закон распределения для случайной величины \(X\) будет описываться следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \(n = 4\) — общее количество выстрелов,
- \(k\) — количество попаданий (может быть от 0 до 4),
- \(p = 0,3\) — вероятность попадания,
- \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, рассчитываемый как \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Теперь давайте вычислим вероятности попаданий для каждого значения \(k\) от 0 до 4:
\(P(X = 0)\): \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0,3)^0 \cdot (0,7)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,2401 = 0,2401 \]
\(P(X = 1)\): \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0,3)^1 \cdot (0,7)^3 = 4 \cdot 0,3 \cdot 0,343 = 0,4116 \]
\(P(X = 2)\): \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^2 = 6 \cdot 0,09 \cdot 0,49 = 0,2646 \]
\(P(X = 3)\): \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^1 = 4 \cdot 0,027 \cdot 0,7 = 0,0756 \]
\(P(X = 4)\): \[ P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0,3)^4 \cdot (0,7)^0 = 1 \cdot 0,0081 \cdot 1 = 0,0081 \]
Теперь мы можем представить закон распределения случайной величины \(X\):
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline k & P(X = k) \\ \hline 0 & 0,2401 \\ 1 & 0,4116 \\ 2 & 0,2646 \\ 3 & 0,0756 \\ 4 & 0,0081 \\ \hline \end{array} \]
Теперь давайте найдем математическое ожидание \(M(X)\) и дисперсию \(D(X)\) случайной величины \(X\):
Математическое ожидание: \[ M(X) = n \cdot p = 4 \cdot 0,3 = 1,2 \]
Дисперсия: \[ D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 4 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 0,84 \]
Таким образом, мы нашли всю необходимую информацию:
- Закон распределения случайной величины \(X\),
- Математическое ожидание \(M(X) = 1,2\),
- Дисперсия \(D(X) = 0,84\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!
