Составить каноническое уравнение гиперболы, если: 1) 2c = 10, a = 3; 2) c = 3, E = 1,5;

Давай разберёмся с составлением канонического уравнения гиперболы для каждого случая.

1) \(2c = 10\), \(a = 3\)

1. Чтобы найти \(c\), раздели \(2c\) на 2: \(c = 5\).
2. Уравнение гиперболы в канонической форме выглядит как \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \).
3. Определим \(b\) с помощью связи \(c^2 = a^2 + b^2\):
   1. \(c^2 = 25\), \(a^2 = 9\).
   2. \(25 = 9 + b^2\).
   3. \(b^2 = 25 - 9 = 16\).
   4. \(b = 4\).
4. Подставим в уравнение: \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\).

2) \(c = 3\), \(E = 1.5\)

1. Экцентриситет \(E\) дан формулой \(E = \frac{c}{a}\).
2. Подставив значение, получаем: \(1.5 = \frac{3}{a}\).
3. \(a = \frac{3}{1.5} = 2\).
4. Найдём \(b\) через формулу \(c^2 = a^2 + b^2\):
   1. \(c^2 = 9\), \(a^2 = 4\).
   2. \(9 = 4 + b^2\).
   3. \(b^2 = 5\).
5. Подставим в уравнение: \( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1\).

3) \(b = 6\), уравнения асимптот \(y = \pm \frac{5}{4}x\)

1. Асимптоты гиперболы имеют вид \(y = \pm \frac{a}{b}x\), что соответствует \(\frac{5}{4} = \frac{a}{6}\).
2. Найдём \(a\): \(a = \frac{5}{4} \times 6 = 7.5\).
3. Учитывая, что \(c^2 = a^2 + b^2\):
   1. \(a^2 = (7.5)^2 = 56.25\).
   2. \(b^2 = 36\).
   3. \(c^2 = 56.25 + 36 = 92.25\).
4. Подставим в уравнение: \( \frac{x^2}{56.25} - \frac{y^2}{36} = 1\).

Если будут вопросы, спрашивай!