Фишка стоит на числовой прямой в точке 0. Симметричную монету подбрасывают 2000 раз и при каждом броске двигают фишку на единицу вправо, если выпал орёл, или на единицу влево, если выпала решка. Получается случайное блуждание. Размахом блуждания назовём разность между наибольшей и наименьшей координатами фишки за время блуждания. Известно, что выпало ровно 1100 орлов. Сколько существует различных последовательностей движения фишки, при которых размах блуждания окажется равным 1100?

Для того чтобы решить эту задачу, начнем с определения конечного положения фишки на числовой прямой после 2000 подбрасываний монеты. Обозначим количество орлов за \(X\) и количество решек за \(Y\). Из условия нам известно, что:

\[ X + Y = 2000 \] и \[ X = 1100. \]

Таким образом, количество решек можно найти как:

\[ Y = 2000 - X = 2000 - 1100 = 900. \]

Положение фишки после 2000 бросков равно разности между количеством орлов и количеством решек:

\[ S = X - Y = 1100 - 900 = 200. \]

Теперь определим размах блуждания \(R\). Размах блуждания равен разности между наибольшей (\(M\)) и наименьшей (\(m\)) координатами фишки:

\[ R = M - m. \]

Важно заметить, что максимальная координата \(M\) достигается в случае, когда фишка движется в правую сторону (при выпадении орла) как можно дольше, а в случае использования решки - как можно меньше. Минимальная координата \(m\) достигается в обратной ситуации.

Для размаха блуждания равного 1100, мы должны убедиться, что:

\[ M - m = 1100. \]

Наименьшая координата \(m\) будет равна \(-900\) (то есть, если мы будем двигаться только влево в течение \(900\) шагов). Тогда максимальная координата \(M\) составит:

\[ M = 1100 - (-900) = 1100 + 900 = 2000. \]

Таким образом, чтобы получить размах блуждания равный 1100, это должно быть равно:

\[ M = 200 \quad \text{и} \quad m = -900. \]

Теперь для подсчета числа различных последовательностей, позволяющих достичь такого размаха, мы должны рассмотреть распределение орлов и решек.

Общее количество последовательностей подбрасывания монеты при 1100 орлах и 900 решках можно выразить через биномиальные коэффициенты, поскольку мы выбираем \(1100\) мест для орлов из \(2000\) бросков. Это можно выразить следующей формулой:

\[ C(2000, 1100) = \frac{2000!}{1100! \cdot 900!}. \]

Формула биномиального коэффициента \(C(n, k)\) описывает количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) и считается по приведенной формуле.

В результате, количество последовательностей, при которых размах блуждания составит 1100, будет равно значению биномиального коэффициента:

\[ C(2000, 1100). \]