решите неравенства (х²+7х)(5х-х²)≥0

Чтобы решить неравенство \( (x^2 + 7x)(5x - x^2) \geq 0 \), начнем с нахождения нулевых точек каждого множителя.

1. Найдем нулевые точки:

   • Для первого множителя \( x^2 + 7x \) решим уравнение: \[ x^2 + 7x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(x + 7) = 0 \] Это уравнение равно нулю при \( x = 0 \) и \( x = -7 \).

   • Для второго множителя \( 5x - x^2 \) решим уравнение: \[ 5x - x^2 = 0 \] Перепишем его как: \[ -x^2 + 5x = 0 \] Вынесем \( -x \) за скобки: \[ -x(x - 5) = 0 \] Значит, это уравнение равно нулю при \( x = 0 \) и \( x = 5 \).

2. Соберем все нулевые точки: Мы нашли нулевые точки: \( x = -7, 0, 5 \).

3. Построим промежутки: У нас есть 4 промежутка, которые необходимо проверить:

   • \( (-\infty, -7) \)
   • \( (-7, 0) \)
   • \( (0, 5) \)
   • \( (5, +\infty) \)

4. Проверим знак выражения на каждом промежутке:

   • Для \( x < -7 \) (например, \( x = -8 \)): \[ (64 - 56)(-40) < 0 \quad (\text{отрицательное}) \]
   • Для \( -7 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \[ (6)(-4) < 0 \quad (\text{отрицательное}) \]
   • Для \( 0 < x < 5 \) (например, \( x = 2 \)): \[ (14)(6) > 0 \quad (\text{положительное}) \]
   • Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \[ (13)(-6) < 0 \quad (\text{отрицательное}) \]

5. Теперь соберем результаты: Мы имеем:

   • \( (-\infty, -7) \) — отрицательное,
   • \( (-7, 0) \) — отрицательное,
   • \( (0, 5) \) — положительное,
   • \( (5, +\infty) \) — отрицательное.

6. Поскольку мы ищем, где выражение больше или равно нулю, то решения: Решение: \( [0, 5] \).

Таким образом, неравенство \( (x^2 + 7x)(5x - x^2) \geq 0 \) выполняется при \( x \) из отрезка \( [0, 5] \).