Задание: M=10 кН-м Для данной схемы нагружения балки требуется: q=6 кН/м 1) найти опорные реакции и проверить правильность их вычисления; l=2м 2) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М; l=2м 1/2=1м 3) из условия прочности при изгибе (при Gadm=160 МПа) подобрать номер двутавра.
Для решения поставленной задачи с балкой, давайте рассмотрим каждый пункт подробно.
1. Нахождение опорных реакций
Имеем балку, загруженную равномерно распределенной силой \[ q = 6 \, \text{кН/м} \] на длине \[ l = 2 \, \text{м} \]. Суммарная нагрузка на балку будет равна:
\[ F = q \cdot l = 6 \, \text{кН/м} \cdot 2 \, \text{м} = 12 \, \text{кН} \]
Пусть балка имеет две опоры: \( A \) и \( B \). Обозначим реакции опор \( A \) и \( B \) как \( R_A \) и \( R_B \), соответственно.
Для нахождения реакций используем условия равновесия. Подсчитаем суммарные моменты относительно одной из опор, например, опоры \( A \):
\[ \sum M_A = 0: \quad -M + R_B \cdot l = 0 \]
где \( M = 12 \, \text{кН} \cdot 1 \, \text{м} \) (средняя точка нагрузки). Итак,
\[ M = 12 \, \text{кН} \cdot 1 \, \text{м} = 12 \, \text{кН-м} \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ -12 + R_B \cdot 2 = 0 \implies R_B = 6 \, \text{кН} \]
Используем условие равновесия по вертикали:
\[ \sum F_y = 0: \quad R_A + R_B - F = 0 \]
Подставляем известные значения:
\[ R_A + 6 - 12 = 0 \implies R_A = 6 \, \text{кН} \]
Таким образом, реакции опор:
\[ R_A = 6 \, \text{кН}, \quad R_B = 6 \, \text{кН} \]
2. Построение эпюр поперечных сил \( Q \) и изгибающих моментов \( M \)
Эпюра поперечных сил:
- На отрезке от \( A \) до \( B \) поперечная сила \( Q \) будет равна \( R_A = 6 \, \text{кН} \) до точки середины, а затем уменьшаться до \( -R_B \).
\[ Q(x) = R_A - q \cdot x \] где \( x \) - расстояние от опоры \( A \).
Эпюра будет выглядеть следующим образом:
- На \( 0 \) м: \( Q = 6 \, \text{кН} \)
- На \( 1 \) м: \( Q = 6 - 6 \cdot 1 = 0 \)
- На \( 2 \) м: \( Q = 6 - 12 = -6 \, \text{кН} \)
Эпюра изгибающих моментов:
Изгибающий момент \( M \) будет:
\[ M(x) = R_A \cdot x - \frac{q \cdot x^2}{2} \]
- На \( 0 \) м: \( M(0) = 0 \)
- На \( 1 \) м: \( M(1) = 6 \cdot 1 - \frac{6 \cdot 1^2}{2} = 6 - 3 = 3 \, \text{кН-м} \)
- На \( 2 \) м: \( M(2) = 6 \cdot 2 - \frac{6 \cdot 2^2}{2} = 12 - 12 = 0 \)
3. Подбор номера двутавра
По условию прочности, необходимо использовать формулу для вычисления максимального изгибающего момента, находя значение по формуле:
\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]
где \( \sigma \) - допустимое напряжение, \( M \) - максимальный изгибающий момент (в нашем случае \( M_{\text{max}} = 12 \, \text{кН-м} \)), \( c \) - расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения, \( I \) - момент инерции сечения.
Допустимое напряжение \( \sigma_{\text{adm}} = 160 \, \text{МПа} = 0.16 \, \text{Н/мм}^2 \).
Переведем момент в Нмм:
\[ M_{\text{max}} = 12 \times 10^6 \, \text{Нмм} \]
Теперь, подставляя значения в формулу, можем найти момент инерции \( I \):
\[ I \geq \frac{M \cdot c}{\sigma_{\text{adm}}} = \frac{12 \times 10^6 \, \text{Нмм} \cdot c}{0.16 \times 10^3 \, \text{Н/мм}^2} \]
Далее, в зависимости от подбираемого двутавра, найдем \( c \) и сравним с значениями \( I \) для различных двутавров, чтобы выбрать подходящий.
Это общий алгоритм для решения вашей задачи по балке, и с его помощью вы сможете подготовиться к экзамену. Если вам нужна более подробная информация по конкретным расчетам или конструкциям двутавров, не стесняйтесь спрашивать!
