Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ох и через точку 10 на оси Оу, если известно, что центр находится на оси Оу. (Дроби максимально сократите. Если в ответе получилось целое число, то запишите его в виде дроби со знаменателем 1.

Question 1

Задача Задача №2294299

А

Аноним

20 ноября 2024 10:58 · публичный вопрос

А

Аноним 20 ноября 2024 10:58

Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ох и через точку 10 на оси Оу, если известно, что центр находится на оси Оу. (Дроби максимально сократите. Если в ответе получилось целое число, то запишите его в виде дроби со знаменателем 1.

Answer

Для нахождения уравнения окружности, которая проходит через заданные точки и имеет центр на оси OY, давайте разберёмся шаг за шагом.

Определение центра окружности: Мы знаем, что центр окружности находится на оси OY. Обозначим координаты центра как \( (0, r) \), где \( r \) - это расстояние от центра окружности до оси OX.
Определение радиуса: У нас есть две точки, через которые проходит окружность:
- \( A(5, 0) \) — точка на оси OX,
- \( B(0, 10) \) — точка на оси OY.
Чтобы найти радиус, вычислим расстояние от центра окружности до точки \( A(5, 0) \): \[ R = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - r)^2} = \sqrt{25 + r^2} \]

Также, расстояние от центра окружности до точки \( B(0, 10) \) будет: \[ R = \sqrt{(0 - 0)^2 + (10 - r)^2} = |10 - r| \]
Уравнение окружности: Теперь мы можем приравнять эти два выражения: \[ \sqrt{25 + r^2} = |10 - r| \]

Будем рассматривать два случая:
- Случай 1: \( 10 - r \geq 0 \) (то есть \( r \leq 10 \)) \[ \sqrt{25 + r^2} = 10 - r \] Квадратируем обе стороны: \[ 25 + r^2 = (10 - r)^2 \] Раскрываем скобки: \[ 25 + r^2 = 100 - 20r + r^2 \] Упрощаем: \[ 25 = 100 - 20r \] \[ 20r = 75 \] \[ r = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} \]
- Случай 2: \( 10 - r < 0 \) (то есть \( r > 10 \)) \[ \sqrt{25 + r^2} = r - 10 \] Квадратируем также: \[ 25 + r^2 = (r - 10)^2 \] Раскрываем скобки: \[ 25 + r^2 = r^2 - 20r + 100 \] Упрощаем: \[ 25 = -20r + 100 \] \[ 20r = 75 \] \[ r = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} \]

В обоих случаях мы получили одно и то же значение \( r = \frac{15}{4} \).

Формула уравнения окружности: Теперь можем записать уравнение окружности, зная координаты центра \( (0, \frac{15}{4}) \) и радиус \( \frac{\sqrt{25 + \left(\frac{15}{4}\right)^2}} = \frac{25}{4} \): \[ (x - 0)^2 + \left(y - \frac{15}{4}\right)^2 = \left(\frac{25}{4}\right)^2 \]

Упрощаем до стандартного вида: \[ x^2 + \left(y - \frac{15}{4}\right)^2 = \frac{625}{16} \]

Таким образом, уравнение искомой окружности: \[ x^2 + \left(y - \frac{15}{4}\right)^2 = \frac{625}{16} \]

Question 2

Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ох и через точку 10 на оси Оу, если известно, что центр находится на оси Оу. (Дроби максимально сократите. Если в ответе получилось целое число, то запишите его в виде дроби со знаменателем 1.

Answer

Для нахождения уравнения окружности, которая проходит через заданные точки и имеет центр на оси OY, давайте разберёмся шаг за шагом. 1. **Определение центра окружности**: Мы знаем, что центр окружности находится на оси OY. Обозначим координаты центра как \( (0, r) \), где \( r \) - это расстояние от центра окружности до оси OX. 2. **Определение радиуса**: У нас есть две точки, через которые проходит окружность: - \( A(5, 0) \) — точка на оси OX, - \( B(0, 10) \) — точка на оси OY. Чтобы найти радиус, вычислим расстояние от центра окружности до точки \( A(5, 0) \): \[ R = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - r)^2} = \sqrt{25 + r^2} \] Также, расстояние от центра окружности до точки \( B(0, 10) \) будет: \[ R = \sqrt{(0 - 0)^2 + (10 - r)^2} = |10 - r| \] 3. **Уравнение окружности**: Теперь мы можем приравнять эти два выражения: \[ \sqrt{25 + r^2} = |10 - r| \] Будем рассматривать два случая: - **Случай 1**: \( 10 - r \geq 0 \) (то есть \( r \leq 10 \)) \[ \sqrt{25 + r^2} = 10 - r \] Квадратируем обе стороны: \[ 25 + r^2 = (10 - r)^2 \] Раскрываем скобки: \[ 25 + r^2 = 100 - 20r + r^2 \] Упрощаем: \[ 25 = 100 - 20r \] \[ 20r = 75 \] \[ r = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} \] - **Случай 2**: \( 10 - r < 0 \) (то есть \( r > 10 \)) \[ \sqrt{25 + r^2} = r - 10 \] Квадратируем также: \[ 25 + r^2 = (r - 10)^2 \] Раскрываем скобки: \[ 25 + r^2 = r^2 - 20r + 100 \] Упрощаем: \[ 25 = -20r + 100 \] \[ 20r = 75 \] \[ r = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} \] В обоих случаях мы получили одно и то же значение \( r = \frac{15}{4} \). 4. **Формула уравнения окружности**: Теперь можем записать уравнение окружности, зная координаты центра \( (0, \frac{15}{4}) \) и радиус \( \frac{\sqrt{25 + \left(\frac{15}{4}\right)^2}} = \frac{25}{4} \): \[ (x - 0)^2 + \left(y - \frac{15}{4}\right)^2 = \left(\frac{25}{4}\right)^2 \] Упрощаем до стандартного вида: \[ x^2 + \left(y - \frac{15}{4}\right)^2 = \frac{625}{16} \] Таким образом, уравнение искомой окружности: \[ x^2 + \left(y - \frac{15}{4}\right)^2 = \frac{625}{16} \]