Решить систему x^2+2xy=8 y^2-2xy=-3

Для решения системы уравнений

\[ \begin{cases} x^2 + 2xy = 8 \\ y^2 - 2xy = -3 \end{cases} \]

начнем с первого уравнения:

1. Из первого уравнения выразим \(xy\): \[ 2xy = 8 - x^2 \implies xy = \frac{8 - x^2}{2} \]

2. Теперь подставим \(xy\) во второе уравнение: \[ y^2 - 2xy = -3 \] Подставляя \(2xy\): \[ y^2 - (8 - x^2) = -3 \] Преобразуем уравнение: \[ y^2 - 8 + x^2 = -3 \] или \[ y^2 + x^2 = 5 \]

Теперь у нас есть новую систему:

\[ \begin{cases} y^2 + x^2 = 5 \\ xy = \frac{8 - x^2}{2} \end{cases} \]

Теперь выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения:

3. Из уравнения \(y^2 + x^2 = 5\) получаем: \[ y^2 = 5 - x^2 \implies y = \pm \sqrt{5 - x^2} \]

4. Подставим \(y\) в выражение для \(xy\): \[ x\left(\sqrt{5 - x^2}\right) = \frac{8 - x^2}{2} \] или \[ 2x\sqrt{5 - x^2} = 8 - x^2 \]

5. Преобразуем это уравнение: \[ 2x\sqrt{5 - x^2} + x^2 - 8 = 0 \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ 4x^2(5 - x^2) = (8 - x^2)^2 \]

Решая это уравнение, получаем:

\[ 20x^2 - 4x^4 = 64 - 16x^2 + x^4 \] \[ 0 = 5x^4 - 36x^2 + 64 \]

Пусть \(z = x^2\): \[ 5z^2 - 36z + 64 = 0 \]

Находим дискриминант: \[ D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 64 = 1296 - 1280 = 16 \]

Теперь находим корни: \[ z = \frac{36 \pm 4}{10} = \frac{40}{10} = 4 \quad \text{или} \quad z = \frac{32}{10} = 3.2 \]

Возвращаемся к \(x^2\): \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] \[ x^2 = 3.2 \implies x = \pm \sqrt{3.2} = \pm \frac{4\sqrt{5}}{5} \]

Теперь находим \(y\) для каждого значения \(x\).

1. Если \(x = 2\): \[ y^2 + 4 = 5 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1 \] Решения: \((2, 1)\), \((2, -1)\).

2. Если \(x = -2\): \[ y^2 + 4 = 5 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1 \] Решения: \((-2, 1)\), \((-2, -1)\).

3. Если \(x = \frac{4\sqrt{5}}{5}\): \[ y^2 + \frac{16}{5} = 5 \implies y^2 = 5 - \frac{16}{5} = \frac{9}{5} \implies y = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5} \] Решения: \(\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{3\sqrt{5}}{5}\right)\), \(\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}, -\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)\).

4. Если \(x = -\frac{4\sqrt{5}}{5}\): \[ y^2 + \frac{16}{5} = 5 \implies y^2 = \frac{9}{5} \implies y = \pm \frac{3\sqrt{5}}{5} \] Решения: \(\left(-\frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{3\sqrt{5}}{5}\right)\), \(\left(-\frac{4\sqrt{5}}{5}, -\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)\).

Итак, итоговые решения системы:

\[ (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1), \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{3\sqrt{5}}{5}\right), \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}, -\frac{3\sqrt{5}}{5}\right), \left(-\frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{3\sqrt{5}}{5}\right), \left(-\frac{4\sqrt{5}}{5}, -\frac{3\sqrt{5}}{5}\right) \]