Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ox и через точку 7 на оси Oy, если известно, что центр находится на оси Ox. Рассчитай в дробях и дроби запиши несокращёнными

Question 1

Задача Задача №2294348

А

Аноним

20 ноября 2024 11:02 · публичный вопрос

А

Аноним 20 ноября 2024 11:02

Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ox и через точку 7 на оси Oy, если известно, что центр находится на оси Ox. Рассчитай в дробях и дроби запиши несокращёнными

Answer

Чтобы написать уравнение окружности, которая проходит через указанные точки и имеет центр на оси Ox, нам нужно определить координаты центра окружности и радиус.

Let:

Tочка A (5, 0) — на оси Ox (где x = 5),
Tочка B (0, 7) — на оси Oy (где y = 7).

Пусть центр окружности C имеет координаты (h, 0), где h – координата центра на оси Ox. Тогда радиус окружности r равен расстоянию от центра до точки A и до точки B.

Расстояние от C до A: \[ r = |h - 5| \]

Расстояние от C до B: \[ r = \sqrt{(h - 0)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{h^2 + 49} \]

Так как радиусы должны быть равны, можно записать уравнение: \[ |h - 5| = \sqrt{h^2 + 49} \]

Теперь решим это уравнение.

Сначала рассмотрим два случая для абсолютного значения.

Случай 1: \( h - 5 = \sqrt{h^2 + 49} \)

Квадрат обеих сторон: \[ (h - 5)^2 = h^2 + 49 \] \[ h^2 - 10h + 25 = h^2 + 49 \] Сократив \( h^2 \): \[ -10h + 25 = 49 \] \[ -10h = 49 - 25 \] \[ -10h = 24 \] \[ h = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5} \]

Случай 2: \( h - 5 = -\sqrt{h^2 + 49} \)

Квадрат обеих сторон: \[ (h - 5)^2 = h^2 + 49 \] Так как это уже было рассмотрено, обратим внимание на то, что квадрат одновременно равен и не может быть равен отрицательному значению.

Теперь мы знаем, что координаты центра окружности C равны \( \left(-\frac{12}{5}, 0\right) \).

Радиус можно вычислить, подставив значение \( h \) обратно: \[ r = |h - 5| = \left| -\frac{12}{5} - 5 \right| = \left| -\frac{12}{5} - \frac{25}{5} \right| = \left| -\frac{37}{5} \right| = \frac{37}{5} \]

Теперь можем записать уравнение окружности с центром \( (-\frac{12}{5}, 0) \) и радиусом \( \frac{37}{5} \): Уравнение окружности имеет вид: \[ \left(x + \frac{12}{5}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{37}{5}\right)^2 \]

Квадрат радиуса: \[ \left(\frac{37}{5}\right)^2 = \frac{1369}{25} \]

Таким образом, окончательное уравнение будет: \[ \left(x + \frac{12}{5}\right)^2 + y^2 = \frac{1369}{25} \]

Это и есть уравнение окружности, которая проходит через заданные точки. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!

Question 2

Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ox и через точку 7 на оси Oy, если известно, что центр находится на оси Ox. Рассчитай в дробях и дроби запиши несокращёнными

Answer

Чтобы написать уравнение окружности, которая проходит через указанные точки и имеет центр на оси Ox, нам нужно определить координаты центра окружности и радиус. Let: - Tочка A (5, 0) — на оси Ox (где x = 5), - Tочка B (0, 7) — на оси Oy (где y = 7). Пусть центр окружности C имеет координаты (h, 0), где h – координата центра на оси Ox. Тогда радиус окружности r равен расстоянию от центра до точки A и до точки B. Расстояние от C до A: \[ r = |h - 5| \] Расстояние от C до B: \[ r = \sqrt{(h - 0)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{h^2 + 49} \] Так как радиусы должны быть равны, можно записать уравнение: \[ |h - 5| = \sqrt{h^2 + 49} \] Теперь решим это уравнение. Сначала рассмотрим два случая для абсолютного значения. 1. **Случай 1:** \( h - 5 = \sqrt{h^2 + 49} \) Квадрат обеих сторон: \[ (h - 5)^2 = h^2 + 49 \] \[ h^2 - 10h + 25 = h^2 + 49 \] Сократив \( h^2 \): \[ -10h + 25 = 49 \] \[ -10h = 49 - 25 \] \[ -10h = 24 \] \[ h = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5} \] 2. **Случай 2:** \( h - 5 = -\sqrt{h^2 + 49} \) Квадрат обеих сторон: \[ (h - 5)^2 = h^2 + 49 \] Так как это уже было рассмотрено, обратим внимание на то, что квадрат одновременно равен и не может быть равен отрицательному значению. Теперь мы знаем, что координаты центра окружности C равны \( \left(-\frac{12}{5}, 0\right) \). Радиус можно вычислить, подставив значение \( h \) обратно: \[ r = |h - 5| = \left| -\frac{12}{5} - 5 \right| = \left| -\frac{12}{5} - \frac{25}{5} \right| = \left| -\frac{37}{5} \right| = \frac{37}{5} \] Теперь можем записать уравнение окружности с центром \( (-\frac{12}{5}, 0) \) и радиусом \( \frac{37}{5} \): Уравнение окружности имеет вид: \[ \left(x + \frac{12}{5}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{37}{5}\right)^2 \] Квадрат радиуса: \[ \left(\frac{37}{5}\right)^2 = \frac{1369}{25} \] Таким образом, окончательное уравнение будет: \[ \left(x + \frac{12}{5}\right)^2 + y^2 = \frac{1369}{25} \] Это и есть уравнение окружности, которая проходит через заданные точки. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!