Найти синус косинус тангенс катангенс половинного угла при синусе 3/5

При нахождении тригонометрических функций половинного угла, когда дан синус угла, мы можем использовать соответствующие формулы.

Дано, что \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Нам нужно найти:

1. \(\sin \frac{\alpha}{2}\)
2. \(\cos \frac{\alpha}{2}\)
3. \(\tan \frac{\alpha}{2}\)
4. \(\cot \frac{\alpha}{2}\)

Шаг 1: Находим косинус угла

Сначала найдем косинус угла \(\alpha\) с помощью основного тригонометрического тождества:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставляя значение синуса:

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

Таким образом:

\[ \cos \alpha = \pm \frac{4}{5} \]

Знак косинуса зависит от величины угла \(\alpha\). Если \(\alpha\) находится в I или IV четверти, \(\cos \alpha\) будет положительным.

Шаг 2: Находим синус и косинус половинного угла

Теперь используем формулы для нахождения синуса и косинуса половинного угла:

\[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \]

\[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \]

Подставляя \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) (выбираем положительный, как в первом квадранте):

\[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \]

\[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]

Шаг 3: Находим тангенс и котангенс половинного угла

Теперь найдём тангенс и котангенс половинного угла:

\[ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}} = \frac{1}{3} \]

\[ \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = 3 \]

Результаты

Таким образом, мы имеем:

• \(\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}\)
• \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}\)
• \(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}\)
• \(\cot \frac{\alpha}{2} = 3\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, дайте знать!