Реши неравенство x 2 − 121 27 − x ≤ 0 27−x x 2 −121 ≤0 методом интервалов и выбери получившиеся промежутки. ( − ∞ ; 11 ]
Для решения неравенства
\[ \frac{x^2 - 121}{27 - x} \leq 0 \]
методом интервалов, начнем с нахождения нулей числителя и знаменателя.
- Найдем нули числителя:
\[ x^2 - 121 = 0 \]
Это можно записать как
\[ (x - 11)(x + 11) = 0 \]
Таким образом, нули числителя: \(x = 11\) и \(x = -11\).
- Найдем ноль знаменателя:
\[ 27 - x = 0 \implies x = 27 \]
- Определим критические точки:
Критические точки, которые мы нашли: \(x = -11\), \(x = 11\), \(x = 27\). Эти точки разделяют числовую ось на интервалы:
- \((-∞, -11)\)
- \((-11, 11)\)
- \((11, 27)\)
- \((27, +∞)\)
- Проверим знак функции на каждом интервале:
Теперь проверим знак выражения \(\frac{x^2 - 121}{27 - x}\) на каждом из интервалов.
Интервал \((-∞, -11)\): Выберем точку \(x = -12\): \[ \frac{(-12)^2 - 121}{27 - (-12)} = \frac{144 - 121}{27 + 12} = \frac{23}{39} > 0 \]
Интервал \((-11, 11)\): Выберем точку \(x = 0\): \[ \frac{0^2 - 121}{27 - 0} = \frac{-121}{27} < 0 \]
Интервал \((11, 27)\): Выберем точку \(x = 15\): \[ \frac{15^2 - 121}{27 - 15} = \frac{225 - 121}{12} = \frac{104}{12} > 0 \]
Интервал \((27, +∞)\): Выберем точку \(x = 30\): \[ \frac{30^2 - 121}{27 - 30} = \frac{900 - 121}{-3} = \frac{779}{-3} < 0 \]
- Итоговые знаки на интервалах:
- Для интервала \((-∞, -11)\): \(>\)
- Для интервала \((-11, 11)\): \(<\)
- Для интервала \((11, 27)\): \(>\)
- Для интервала \((27, +∞)\): \(<\)
- Решение неравенства:
Неравенство \(\frac{x^2 - 121}{27 - x} \leq 0\) выполняется для интервалов, где выражение меньше или равно нулю, что требует учета корней:
- Включаем корни: \(x = -11\) (знак равенства).
- Исключаем \(x = 27\) из-за нуля в знаменателе.
Таким образом, решение неравенства:
\[ x \in [-11, 11] \]
Ответ: \([-11, 11]\).
