На каком расстоянии от земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности земли?
Чтобы определить, на каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли, необходимо использовать закон всемирного тяготения.
Сила тяжести на поверхности Земли (F₀) вычисляется по формуле:
\[ F₀ = \frac{G \cdot m \cdot M}{R^2}, \]
где:
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( m \) — масса тела,
- \( M \) — масса Земли,
- \( R \) — радиус Земли.
На высоте \( h \) (то есть на расстоянии \( R + h \) от центра Земли) сила тяжести будет равна:
\[ F_h = \frac{G \cdot m \cdot M}{(R + h)^2}. \]
По условию задачи, мы хотим, чтобы сила F_h была третью часть силы на поверхности Земли:
\[ F_h = \frac{1}{3} F₀. \]
Подставим формулы в это уравнение:
\[ \frac{G \cdot m \cdot M}{(R + h)^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{G \cdot m \cdot M}{R^2}. \]
Сократим \( G \cdot m \cdot M \) с обеих сторон:
\[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{3R^2}. \]
Теперь перемножим обе стороны уравнения на \( (R + h)^2 \cdot 3R^2 \):
\[ 3R^2 = (R + h)^2. \]
Раскроем правую часть уравнения:
\[ 3R^2 = R^2 + 2Rh + h^2. \]
Упрощаем уравнение:
\[ 2R^2 = 2Rh + h^2. \]
Переносим все в одну сторону:
\[ h^2 + 2Rh - 2R^2 = 0. \]
Это квадратное уравнение в отношении h. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1, b = 2R, c = -2R^2 \):
\[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2R^2)}}{2 \cdot 1}. \]
Упрощаем:
\[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2}. \] \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{12R^2}}{2}. \] \[ h = \frac{-2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}. \] \[ h = -R \pm R\sqrt{3}. \]
Поскольку высота не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:
\[ h = R(\sqrt{3} - 1). \]
Таким образом, чтобы сила всемирного тяготения на тело была в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли, необходимо подняться на высоту:
\[ h = R(\sqrt{3} - 1), \]
где \( R \approx 6371 \) км — радиус Земли.
