Найти площадь криволинейной трапеции если f(x)=0.5x^2+2x+3, g(x)=3-x , x1=-3, x2=2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми \( f(x) = 0.5x^2 + 2x + 3 \) и \( g(x) = 3 - x \) на отрезке \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 2 \), следует выполнить несколько шагов.

1. Найдите точки пересечения функций. Для этого приравняем \( f(x) \) и \( g(x) \): \[ 0.5x^2 + 2x + 3 = 3 - x \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 0.5x^2 + 3x + 0 = 0 \]

   Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ x^2 + 6x = 0 \] Факторизуем: \[ x(x + 6) = 0 \] Таким образом, точки пересечения: \( x = 0 \) и \( x = -6 \).

2. Построим область интегрирования. На отрезке \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 2 \) следует рассмотреть, какая функция находится выше. Проверим значения функций в пределах заданного отрезка:

   • \( f(-3) = 0.5(-3)^2 + 2(-3) + 3 = 4.5 - 6 + 3 = 1.5 \)
   • \( g(-3) = 3 - (-3) = 6 \)
   • \( f(2) = 0.5(2)^2 + 2(2) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9 \)
   • \( g(2) = 3 - 2 = 1 \)

   На отрезке от \( -3 \) до \( 0 \) выше \( g(x) \), а от \( 0 \) до \( 2 \) выше \( f(x) \).

3. Рассчитаем площадь. Площадь между двумя кривыми на заданном отрезке определяется интегралом: \[ S = \int_{-3}^{0} \left(g(x) - f(x)\right) dx + \int_{0}^{2} \left(f(x) - g(x)\right) dx \]

4. Вычислим оба интеграла.

   Первое интегрирование: \[ \int_{-3}^{0} \left((3 - x) - (0.5x^2 + 2x + 3)\right) dx = \int_{-3}^{0} \left(-0.5x^2 - 3x\right) dx \] \[ = -0.5 \int_{-3}^{0} x^2 dx - 3 \int_{-3}^{0} x dx \]

   Рассчитаем отдельно:

   • \( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \) от \( -3 \) до \( 0 \) дает \( \frac{0^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = 0 + 9 = 9 \)
   • \( \int x dx = \frac{x^2}{2} \) от \( -3 \) до \( 0 \) дает \( 0 - \frac{9}{2} = -4.5 \)

   Подставляем в первое интегрирование: \[ S_1 = -0.5 \cdot 9 - 3 \cdot (-4.5) = -4.5 + 13.5 = 9 \]

   Второе интегрирование: \[ \int_{0}^{2} \left((0.5x^2 + 2x + 3) - (3 - x)\right) dx = \int_{0}^{2} \left(0.5x^2 + 3x\right) dx \] \[ = 0.5 \int_{0}^{2} x^2 dx + 3 \int_{0}^{2} x dx \]

   Теми же методами из предыдущего расчета: \[ \int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3} \] \[ \int_{0}^{2} x dx = \frac{2^2}{2} - 0 = 2 \]

   Теперь подставляем: \[ S_2 = 0.5 \cdot \frac{8}{3} + 3 \cdot 2 = \frac{4}{3} + 6 = \frac{22}{3} \]

5. Общая площадь: \[ S = S_1 + S_2 = 9 + \frac{22}{3} = \frac{27}{3} + \frac{22}{3} = \frac{49}{3} \]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции составляет \(\frac{49}{3}\) квадратных единиц.