Докажите, что середины сторон пространственного четырехуголь-ника* являются вершинами параллелограмма.

Для доказательства того, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD в пространстве. Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как M, N, O и P соответственно.

Сначала найдем векторы, представляющие каждую из этих точек. Пусть вектора вершинок четырехугольника обозначаются следующим образом:

• \( \mathbf{A} \) — вектор точки A,
• \( \mathbf{B} \) — вектор точки B,
• \( \mathbf{C} \) — вектор точки C,
• \( \mathbf{D} \) — вектор точки D.

Теперь найдем координаты середин сторон:

• \( \mathbf{M} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{B}}{2} \) — середина AB,
• \( \mathbf{N} = \frac{\mathbf{B} + \mathbf{C}}{2} \) — середина BC,
• \( \mathbf{O} = \frac{\mathbf{C} + \mathbf{D}}{2} \) — середина CD,
• \( \mathbf{P} = \frac{\mathbf{D} + \mathbf{A}}{2} \) — середина DA.

Теперь покажем, что отрезки MN и OP равны и параллельны, а также отрезки NO и MP равны и параллельны.

1. Показать, что векторы \( \mathbf{MN} \) и \( \mathbf{OP} \) равны и параллельны: \[ \mathbf{MN} = \mathbf{N} - \mathbf{M} = \left( \frac{\mathbf{B} + \mathbf{C}}{2} - \frac{\mathbf{A} + \mathbf{B}}{2} \right) = \frac{\mathbf{C} - \mathbf{A}}{2}. \] \[ \mathbf{OP} = \mathbf{P} - \mathbf{O} = \left( \frac{\mathbf{D} + \mathbf{A}}{2} - \frac{\mathbf{C} + \mathbf{D}}{2} \right) = \frac{\mathbf{A} - \mathbf{C}}{2}. \] Таким образом, \[ \mathbf{MN} = -\mathbf{OP}, \] что подтверждает, что \( \mathbf{MN} \) и \( \mathbf{OP} \) равны и направлены в разные стороны (параллельны).

2. Показать, что векторы \( \mathbf{NO} \) и \( \mathbf{MP} \) равны и параллельны: \[ \mathbf{NO} = \mathbf{O} - \mathbf{N} = \left( \frac{\mathbf{C} + \mathbf{D}}{2} - \frac{\mathbf{B} + \mathbf{C}}{2} \right) = \frac{\mathbf{D} - \mathbf{B}}{2}. \] \[ \mathbf{MP} = \mathbf{P} - \mathbf{M} = \left( \frac{\mathbf{D} + \mathbf{A}}{2} - \frac{\mathbf{A} + \mathbf{B}}{2} \right) = \frac{\mathbf{D} - \mathbf{B}}{2}. \] Таким образом, \[ \mathbf{NO} = \mathbf{MP}, \] что подтверждает, что \( \mathbf{NO} \) и \( \mathbf{MP} \) равны и параллельны.

Таким образом, мы показали, что отрезки MN и OP, а также NO и MP равны и параллельны. Это означает, что точки M, N, O и P являются вершинами параллелограмма.

Следовательно, середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.