Найдите корни уравнения Sin (3x - п/6) = 1/2 преднадлежащие промежутку [ -2п; п]

Question 1

Задача Задача №2295893

А

Аноним

20 ноября 2024 13:25 · публичный вопрос

А

Аноним 20 ноября 2024 13:25

Найдите корни уравнения Sin (3x - п/6) = 1/2 преднадлежащие промежутку [ -2п; п]

Answer

Для решения уравнения \( \sin(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \) давайте сначала определим угол, для которого синус равен \( \frac{1}{2} \). Это происходит при следующих углах:

\[ 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \]

где \( k \) — целое число.

Решим каждое из этих уравнений.

Первое уравнение: \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \]

Переносим \( \frac{\pi}{6} \) на правую сторону: \[ 3x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \]

Разделим все на 3: \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \]
Второе уравнение: \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]

Переносим \( \frac{\pi}{6} \) на правую сторону: \[ 3x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{6\pi}{6} + 2k\pi = \pi + 2k\pi \]

Разделим все на 3: \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \]

Теперь мы получили два выражения для \( x \):

\( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \)
\( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \)

Теперь нам нужно найти корни, которые принадлежат промежутку \( [-2\pi; \pi] \).

Подставляем значения \( k \):

Для первого выражения: \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \)
- При \( k = -2 \): \[ x = \frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{12\pi}{9} = -\frac{11\pi}{9} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \]
- При \( k = -1 \): \[ x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{6\pi}{9} = -\frac{5\pi}{9} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \]
- При \( k = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{9} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \]
- При \( k = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \]
- При \( k = 2 \): \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{12\pi}{9} = \frac{13\pi}{9} \quad (\text{не принадлежит промежутку}) \]
Для второго выражения: \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \)
- При \( k = -2 \): \[ x = \frac{\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = -\pi \quad (\text{принадлежит промежутку}) \]
- При \( k = -1 \): \[ x = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \]
- При \( k = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{3} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \]
- При \( k = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \quad (\text{принадлежит промежутку}) \]
- При \( k = 2 \): \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит промежутку}) \]

Итог:

Таким образом, корни уравнения в промежутке \( [-2\pi; \pi] \):

\( -\pi \)
\( -\frac{5\pi}{9} \)
\( -\frac{11\pi}{9} \)
\( \frac{\pi}{9} \)
\( \frac{7\pi}{9} \)
\( \frac{\pi}{3} \)
\( \pi \)

Эти значения являются решениями заданного уравнения в указанном промежутке.

Question 2

найдите корни уравнения Sin (3x - п/6) = 1/2 преднадлежащие промежутку [ -2п; п]

Answer

Для решения уравнения \( \sin(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \) давайте сначала определим угол, для которого синус равен \( \frac{1}{2} \). Это происходит при следующих углах: \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \] где \( k \) — целое число. Решим каждое из этих уравнений. 1. **Первое уравнение:** \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] Переносим \( \frac{\pi}{6} \) на правую сторону: \[ 3x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] Разделим все на 3: \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \] 2. **Второе уравнение:** \[ 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] Переносим \( \frac{\pi}{6} \) на правую сторону: \[ 3x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{6\pi}{6} + 2k\pi = \pi + 2k\pi \] Разделим все на 3: \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \] Теперь мы получили два выражения для \( x \): 1. \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \) 2. \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \) Теперь нам нужно найти корни, которые принадлежат промежутку \( [-2\pi; \pi] \). ### Подставляем значения \( k \): 1. **Для первого выражения:** \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \) - При \( k = -2 \): \[ x = \frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{12\pi}{9} = -\frac{11\pi}{9} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \] - При \( k = -1 \): \[ x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{9} - \frac{6\pi}{9} = -\frac{5\pi}{9} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \] - При \( k = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{9} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \] - При \( k = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \] - При \( k = 2 \): \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{12\pi}{9} = \frac{13\pi}{9} \quad (\text{не принадлежит промежутку}) \] 2. **Для второго выражения:** \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \) - При \( k = -2 \): \[ x = \frac{\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = -\pi \quad (\text{принадлежит промежутку}) \] - При \( k = -1 \): \[ x = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \] - При \( k = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{3} \quad (\text{принадлежит промежутку}) \] - При \( k = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \quad (\text{принадлежит промежутку}) \] - При \( k = 2 \): \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит промежутку}) \] ### Итог: Таким образом, корни уравнения в промежутке \( [-2\pi; \pi] \): - \( -\pi \) - \( -\frac{5\pi}{9} \) - \( -\frac{11\pi}{9} \) - \( \frac{\pi}{9} \) - \( \frac{7\pi}{9} \) - \( \frac{\pi}{3} \) - \( \pi \) Эти значения являются решениями заданного уравнения в указанном промежутке.